ドップラー効果 - べっこう色の記録

忘れてしまったドップラー効果を思い出す．

高校のころは当然（？）式の丸暗記をしていた．
試験が終わってしまうとすべて忘却、という典型的なダメ生徒だった．

今となっては年齢のせいか，さっぱり暗記ができなくなってしまった．
というわけで代わりに理論的に，数式の意味を考えて理解することとしよう．

波動の一般的な話
そもそも音は波動である．したがって一般的な波動の式が適用できる．

波動は振動が媒質を伝わった結果として現れるものである．
したがって，1秒間に何回振動したか，が重要である．
これを振動数 $f$ といい単位[Hz]で表す．

正弦曲線を描く波動を正弦波という．
正弦波の波形の隣り合う高いところ（山）の長さを波長 $\lambda$ という．

波動が進む速さ $v$ は次の式で表される． $v=f \lambda$ ．

音源が近づく場合
音源と観測者の距離を $l$ [m]とおく．
ここでは音源が $v_{0}$ [m/s]で一直線上を動くとする．
また音源が発する音は振動数 $f$ [Hz]，波長 $\lambda$ [m]，音速 $v$ [m/s]とする．
波動の式から $f=\frac{v}{\lambda}$ となることに注意する．

目標は観測者が聞く音の高さが高くなること，言い換えると振動数が増加することを示すことである．

方針を述べる．
まず，音源が動き出すときに出した音が観測者に届くまでの時間を求める．
次に，その時間の間に音源が進むことから波長が短くなることを見る．
最後に，波動の式から振動数 $f'$ を求める．

まず，音源が動き出すときに出した音が観測者に届くまでの時間 $t_{0}$ は
　　 $l=v t_{0}$
であるから波動の式から
　　 $t_{0}=\frac{l}{v}=\frac{l}{f \lambda}$
となる．ゆえに音が観測者に届いたときの音源と観測者との距離は
　　 $l-v_{0}t_{0}=l-\frac{v_{0}}{v}l$
である．この音源と観測者の間に $ft_{0}=\frac{l}{\lambda}$ 個の波が入っている．
ここで1個分の波とは1波長分の波の意味である．
よって，波長 $\lambda '$ は
　　 $\lambda '=\frac{(1-v_{0}/v)l}{l/\lambda}=\frac{v-v_{0}}{v}\lambda$
となる．音速そのものは変化しないことから，求める振動数 $f'$ は波動の式より
　　 $f' \lambda'=v$
　　 $f' \frac{v-v_{0}}{v}\lambda=v$
　　 $f'=\frac{v}{v-v_{0}} \frac{v}{\lambda}$
　　 $f'=\frac{v}{v-v_{0}} f$ ．
分母 $v-v_{0}$ は分子 $v$ より小さいので，聞こえる音の振動数 $f'$ は元の振動数 $f$ より増加する．つまり音は高く聞こえる．