読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

可測関数

数学 ルベーグ積分

定義.(可測関数)
関数f:\mathbb{R}^{d} \to \mathbb{R}が可測関数であることを次の式が成り立つことで定義する.
  任意のa \in \mathbb{R}に対して,\{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid f(x) > a \} \in \cal{M}(\mathbb{R}^{d})が成り立つ.

具体例を挙げる.


連続関数f \in C^{0}(\mathbb{R}^{d})は可測関数である.
実際,任意のa \in \mathbb{R}に対して,\{ x \mid f(x) > a \} = f^{-1}( (a, \infty)) \in \mathcal{O}(\mathbb{R}^{d}) \subset \cal{M}(\mathbb{R}^{d})となる.□

定義では単なる不等号だが,実際にはそうでなくてよい.

補題
関数fに対して以下の条件は同値である.
1)fは可測関数である.
2)任意のa \in \mathbb{R}に対して,\{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid f(x) \geq a \} \in \cal{M}(\mathbb{R}^{d})が成り立つ.
3)任意のa \in \mathbb{R}に対して,\{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid f(x) < a \} \in \cal{M}(\mathbb{R}^{d})が成り立つ.
4)任意のa \in \mathbb{R}に対して,\{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid f(x) \leq a \} \in \cal{M}(\mathbb{R}^{d})が成り立つ.

証明は「開集合の無限個の共通部分は開集合とは限らない」の話に似ている.

(証明)
1) ⇒ 2)
任意のa \in \mathbb{R}をとる.
関数fは可測なのですべての自然数nに対して\{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid f(x) > a + \frac{1}{n} \}は可測集合である.
可測集合の可算個の共通部分は可測集合であるから,
\displaystyle {\cal M}(\mathbb{R}^d) \ni \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid f(x) > a + \frac{1}{n} \}=\{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid f(x) \geq a \}となり示される.

2) ⇒ 3)
可測集合の補集合は可測集合であるから
\displaystyle {\cal M}(\mathbb{R}^d) \ni \{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid f(x) \geq a \}^c=\{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid f(x) < a \}

3) ⇒ 4)
1) ⇒ 2)の証明と同様にして示せる.

4) ⇒ 1)
2) ⇒ 3)の証明と同様にして示せる. (証明終)

広告を非表示にする