可測関数 - べっこう色の記録

定義．（可測関数）
関数 $f:\mathbb{R}^{d} \to \mathbb{R}$ が可測関数であることを次の式が成り立つことで定義する．
　　任意の $a \in \mathbb{R}$ に対して， $\{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid f(x) > a \} \in \cal{M}(\mathbb{R}^{d})$ が成り立つ．

具体例を挙げる．

例．
連続関数 $f \in C^{0}(\mathbb{R}^{d})$ は可測関数である．
実際，任意の $a \in \mathbb{R}$ に対して， $\{ x \mid f(x) > a \} = f^{-1}( (a, \infty)) \in \mathcal{O}(\mathbb{R}^{d}) \subset \cal{M}(\mathbb{R}^{d})$ となる．□

定義では単なる不等号だが，実際にはそうでなくてよい．

補題．
関数 $f$ に対して以下の条件は同値である．
1) $f$ は可測関数である．
2)任意の $a \in \mathbb{R}$ に対して， $\{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid f(x) \geq a \} \in \cal{M}(\mathbb{R}^{d})$ が成り立つ．
3)任意の $a \in \mathbb{R}$ に対して， $\{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid f(x) < a \} \in \cal{M}(\mathbb{R}^{d})$ が成り立つ．
4)任意の $a \in \mathbb{R}$ に対して， $\{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid f(x) \leq a \} \in \cal{M}(\mathbb{R}^{d})$ が成り立つ．

証明は「開集合の無限個の共通部分は開集合とは限らない」の話に似ている．

（証明）
1) ⇒ 2)
任意の $a \in \mathbb{R}$ をとる．
関数 $f$ は可測なのですべての自然数 $n$ に対して $\{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid f(x) > a + \frac{1}{n} \}$ は可測集合である．
可測集合の可算個の共通部分は可測集合であるから，
$\displaystyle {\cal M}(\mathbb{R}^d) \ni \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid f(x) > a + \frac{1}{n} \}=\{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid f(x) \geq a \}$ となり示される．

2) ⇒ 3)
可測集合の補集合は可測集合であるから
$\displaystyle {\cal M}(\mathbb{R}^d) \ni \{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid f(x) \geq a \}^c=\{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid f(x) < a \}$ ．

3) ⇒ 4)
1) ⇒ 2)の証明と同様にして示せる．

4) ⇒ 1)
2) ⇒ 3)の証明と同様にして示せる．　（証明終）