測度の基本性質 - べっこう色の記録

一般の測度空間 $(X,{\cal F}(X),\mu)$ に関する性質を調べる．

定義．
集合列 $\{ E_{j} \}_{j=1}^{\infty}$ に対して，
$\displaystyle \limsup_{j \to \infty}E_{j} =\bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} E_{k}$ ， $\displaystyle \liminf_{j \to \infty}E_{j} =\bigcup_{j=1}^{\infty} \bigcap_{k=j}^{\infty} E_{k}$
と定める．□

数列の上極限と下極限の類推で定義する．

命題．
$\{ E_{j} \}_{j=1}^{\infty} \subset {\cal F}(X)$ ならば， $\displaystyle \bigcap_{j=1}^{\infty} E_{j} ,\bigcup_{j=1}^{\infty}E_{j},\limsup_{j \to \infty}E_{j},\liminf_{j \to \infty}E_{j} \in {\cal F}(X)$ である．□

（証明）
$\displaystyle \bigcup_{j=1}^{\infty}E_{j} \in {\cal F}(X)$ は $\sigma$ 集合体の定義による．
また $\displaystyle \bigcap_{j=1}^{\infty} E_{j} =\Bigl( \bigcup_{j=1}^{\infty}E_{j}^{c} \Bigr)^{c} \in {\cal F}(X)$ となる．
この二つを組み合わせて，後者も言える．（証明終）

これらの極限集合と測度の基本的な関係は以下の定理にまとめられる．

定理．
$\{ E_{j} \}_{j=1}^{\infty} \subset {\cal F}(X)$ とする．
（i） $\displaystyle \mu(\cup_{j=1}^{\infty} E_{j}) \leq \normalsize{\sum_{j=1}^{\infty}}\mu(E_{j})$ ．
（ii） $E_{j} \subset E_{j+1}$ ならば $\displaystyle \lim_{j \to \infty} \mu(E_{j}) = \mu(\lim_{j \to \infty} E_{j})$ が成り立つ．
（iii） $E_{j} \supset E_{j+1}$ かつ $\mu(E_{1}) < \infty$ ならば $\displaystyle \lim_{j \to \infty} \mu(E_{j}) = \mu(\lim_{j \to \infty} E_{j})$ が成り立つ．□

（証明）
（i）
$\mu(\cup_{j=1}^{\infty} E_{j})$
$\displaystyle = \mu( E_{1} \sqcup \bigsqcup_{j=2}^{\infty}(E_{j} \setminus \cup_{k=1}^{j-1}E_{k}))$
$\displaystyle =\mu(E_{1})+\sum_{j=2}^{\infty} \mu(E_{j} \setminus \cup_{k=1}^{j-1}E_{k}))$
$\displaystyle \leq \sum_{j=1}^{\infty} \mu(E_{j})$ ．

（ii）
まず $\displaystyle \lim_{j \to \infty}E_{j}=\bigcup_{j=1}^{\infty}E_{j}$ である．
次に集合列が集合の包含関係の意味で単調増加であるから， $\displaystyle \bigcup_{j=1}^{\infty}E_{j} = \bigsqcup_{j=1}^{\infty}(E_{j} \setminus E_{j-1})$ と変形できる．ただし， $E_{0} = \emptyset$ とし， $\mu(E_{0})=0$ である．
$\displaystyle \mu ( \lim_{j \to \infty} E_{j})$
$\displaystyle = \mu ( \bigsqcup_{j=1}^{\infty}(E_{j} \setminus E_{j-1}))$
$\displaystyle = \sum_{j=1}^{\infty} \mu(E_{j} \setminus E_{j-1})$
$\displaystyle = \sum_{j=1}^{\infty}( \mu(E_{j}) - \mu (E_{j-1}) )$
$\displaystyle = \lim_{k \to \infty} \sum_{j=1}^{k} (\mu(E_{j}) - \mu (E_{j-1}))$
$\displaystyle = \lim_{k \to \infty} (\mu(E_{k})-\mu(E_{0}))$
$\displaystyle = \lim_{k \to \infty} \mu(E_{k})$ ．

（iii）
集合列 $\{ F_{j} \}_{j=1}^{\infty}$ を $F_{j}:=E_{1} \setminus E_{j}$ と定める．
このとき（ii）が適用できる．　（証明終）