読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

ルベーグ測度の平行移動不変性

命題
E \in \cal{M}(\mathbb{R}^{d})およびx \in \mathbb{R}^{d}に対して,m(E+x)=m(E)が成立する.□

(証明)
まず右半開区間I=[a_{1},b_{1}) \times \cdots \times [a_{d},b_{d})に対して成立することは,
  \displaystyle m(I+x) = \prod_{j=1}^{ d } ( ( b_{j}+x_{j } ) - (a_{j}+x_{j } ) )  = \prod_{j=1}^{d} (b_{j} - a_{j}) = m(I)
による.つまり\cal{R}(\mathbb{R}^{d})上のすべての元に対して成立するので,
すべてのA \in 2^{\mathbb{R}^{d}}に対してm^{*}(A+x)=m^{*}(A)が成立する.
次にE \in \cal{M}(\mathbb{R}^{d})に対して,E+x \in \cal{M}(\mathbb{R}^{d})となることを示す.
(A \cap B)+x=(A+x) \cap (B+x)に注意すると,任意のA \in 2^{\mathbb{R}^{d}}に対して
  m^{*}(A \cap (E+x)) +m^{*}(A \setminus (E+x))
=m^{*}(((A-x) \cap E)+x) +m^{*}(((A-x) \setminus E)+x)
=m^{*}((A-x) \cap E) +m^{*}((A-x) \setminus E)
=m^{*}(A-x)
=m^{*}(A)
が成り立つ.これはE+xカラテオドリの条件を満たすことを示しているので,
E+x \in \cal{M}(\mathbb{R}^{d})が示された.(証明終)