無理数と有理数 - べっこう色の記録

命題．
$\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$ かつ $\overline{\mathbb{Q}^{c}}=\mathbb{R}$ が成り立つ．□

稠密であることについてである．

（証明）
$\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$ であること．
無理数 $a \in \mathbb{R}$ を十進数展開し， $\displaystyle a=\sum_{j=0}^{\infty}a_{j} 10^{-j}$ とする．
ここで，有理数列 $\{ b_{k} \}_{k=0}^{\infty}$ を $\displaystyle b_{k}=\sum_{j=0}^{k}a_{j} 10^{-j}$ とおくと $\displaystyle \lim_{k \to \infty} b_{k} = a$ となる．

$\overline{\mathbb{Q}^{c}}=\mathbb{R}$ であること．
任意の有理数 $r$ に対して， $a_{j}=r + \frac{\sqrt{2}}{j}$ と定めると，
　　 $a_{j} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ かつ $\displaystyle \lim_{j \to \infty} a_{j} = r$
となる．（証明終）