無理数と有理数

命題
\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}かつ\overline{\mathbb{Q}^{c}}=\mathbb{R}が成り立つ.□

稠密であることについてである.

(証明)
\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}であること.
無理数a \in \mathbb{R}を十進数展開し,\displaystyle a=\sum_{j=0}^{\infty}a_{j} 10^{-j}とする.
ここで,有理数\{ b_{k} \}_{k=0}^{\infty}\displaystyle b_{k}=\sum_{j=0}^{k}a_{j} 10^{-j}とおくと\displaystyle \lim_{k \to \infty} b_{k} = aとなる.

\overline{\mathbb{Q}^{c}}=\mathbb{R}であること.
任意の有理数rに対して,a_{j}=r + \frac{\sqrt{2}}{j}と定めると,
  a_{j} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}かつ\displaystyle \lim_{j \to \infty} a_{j} = r
となる.(証明終)