σ集合体が拡張された測度空間であること

定理．
（i） $\mathcal{R}(\mathbb{R}^{d}) \subset \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ ．
（ii） $\widetilde{m}|_{\mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})}=m$ ．□

つまり，測度空間 $(\mathbb{R}^{d},\mathcal{M}(\mathbb{R}^{d}),\widetilde{m})$ は $(\mathbb{R}^{d},\mathcal{R}(\mathbb{R}^{d}),m)$ の拡張になっている．

（証明）
（i）
任意の $E \in \mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})$ および $A \in 2^{\mathbb{R}^{d}}$ をとる．
$A$ の被覆を $\{ E_{j} \}_{j=1}^{\infty} \subset \mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})$ とする．このとき
$\sum_{j=1}^{\infty} m(E_{j}) = \sum_{j=1}^{\infty}( m(E_{j} \cap E) + m(E_{j} \setminus E))$
　　　　　　　　 $\geq m^{*}(\cup_{j=1}^{\infty}E_{j} \cap E) + m^{*}(\cup_{j=1}^{\infty}E_{j} \setminus E)$
　　　　　　　　 $\geq m^{*}(A \cap E) + m^{*}(A \setminus E)$
となる．1行目から2行目へは外測度，すなわち $\inf$ をとっていることに注意する．
両辺 $\{ E_{j} \}_{j=1}^{\infty} \subset \mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})$ に関する $\inf$ をとると
$m^{*}(A) \geq m^{*}(A \cap E) + m^{*}(A \setminus E)$
が従う．これはカラテオドリの条件であるから， $E \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ がいえた．

（ii）
$\widetilde{m}|_{\mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})}=(m^{*}|_{\mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})})|_{\mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})}=m^{*}|_{\mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})}=m$ ．（証明終）

べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

σ集合体が拡張された測度空間であること