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σ集合体が拡張された測度空間であること

定理
(i)\mathcal{R}(\mathbb{R}^{d}) \subset \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})
(ii)\widetilde{m}|_{\mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})}=m.□

つまり,測度空間(\mathbb{R}^{d},\mathcal{M}(\mathbb{R}^{d}),\widetilde{m})(\mathbb{R}^{d},\mathcal{R}(\mathbb{R}^{d}),m)の拡張になっている.

(証明)
(i)
任意のE \in \mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})およびA \in 2^{\mathbb{R}^{d}}をとる.
Aの被覆を\{ E_{j} \}_{j=1}^{\infty} \subset \mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})とする.このとき
\sum_{j=1}^{\infty} m(E_{j}) = \sum_{j=1}^{\infty}( m(E_{j} \cap E) + m(E_{j} \setminus E))
         \geq  m^{*}(\cup_{j=1}^{\infty}E_{j} \cap E) + m^{*}(\cup_{j=1}^{\infty}E_{j} \setminus E)
         \geq  m^{*}(A \cap E) + m^{*}(A \setminus E)
となる.1行目から2行目へは外測度,すなわち\infをとっていることに注意する.
両辺\{ E_{j} \}_{j=1}^{\infty} \subset \mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})に関する\infをとると
m^{*}(A) \geq  m^{*}(A \cap E) + m^{*}(A \setminus E)
が従う.これはカラテオドリの条件であるから,E \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})がいえた.

(ii)
\widetilde{m}|_{\mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})}=(m^{*}|_{\mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})})|_{\mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})}=m^{*}|_{\mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})}=m.(証明終)