凸関数再び - べっこう色の記録

次の式は凸関数を眺めていたら思いついた．

予想．
関数 $f$ は凸関数であるとする．このとき
$x_{1} < x_{2} < x_{3}$ に対して $\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} \leq \frac{f(x_{3})-f(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}$ が成立する．また逆も成立する．□

凸関数のグラフ上に三点をとって線分の傾きを比較すると，成り立っている…と思われる．
まあ証明できないでいるので，ひょっとすると反例があるかもしれない．