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零集合の定義と基本性質

定義.(零集合)
カラテオドリの外測度でその値が0になる集合を零集合という.□

この零集合が曲者である.

定理
ルベーグ外測度の意味の零集合はルベーグ可測集合である.□

(証明)
任意の零集合がカラテオドリの条件を満たすことを示す.
零集合Eと任意のA \in 2^{\mathbb{R}^{d}}に対して,
カラテオドリの外測度の性質から
  m^{*}(A \cap E) \leq m^{*}(E)=0 かつ m^{*}(A \setminus E) \leq m^{*}(A)
より
  m^{*}(A \cap E) + m^{*}(A \setminus E) \leq 0 + m^{*}(A)=m^{*}(A)
逆向きの不等号は明らかなので
零集合Eカラテオドリの条件を満たすことが示された.(証明終)