零集合の定義と基本性質 - べっこう色の記録

定義．（零集合）
カラテオドリの外測度でその値が0になる集合を零集合という．□

この零集合が曲者である．

定理．
ルベーグ外測度の意味の零集合はルベーグ可測集合である．□

（証明）
任意の零集合がカラテオドリの条件を満たすことを示す．
零集合 $E$ と任意の $A \in 2^{\mathbb{R}^{d}}$ に対して，
カラテオドリの外測度の性質から
　　 $m^{*}(A \cap E) \leq m^{*}(E)=0$ かつ $m^{*}(A \setminus E) \leq m^{*}(A)$
より
　　 $m^{*}(A \cap E) + m^{*}(A \setminus E) \leq 0 + m^{*}(A)=m^{*}(A)$ ．
逆向きの不等号は明らかなので
零集合 $E$ はカラテオドリの条件を満たすことが示された．（証明終）