補題の証明 - べっこう色の記録

補題．
$E_{j} \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d}), j \in \mathbb{N}$ かつ $E_{j} \cap E_{k} = \emptyset,j \neq k$ ならば任意の $A \in 2^{\mathbb{R}^{d}}, k \in \mathbb{N}$ に対して $\displaystyle m^{*}(A) \geq \sum_{j=1}^{k} m^{*}(A \cap E_{j})+m^{*}(A \setminus \bigsqcup_{j=1}^{k}E_{j})$ が成り立つ．□

（証明）
数学的帰納法を用いる． $k=1$ はカラテオドリの条件の式そのものである．
$k$ で成立すると仮定する．すなわち
$m^{*}(A) \geq \sum_{j=1}^{k} m^{*}(A \cap E_{j})+m^{*}(A \setminus \sqcup_{j=1}^{k}E_{j})$
が成り立つとする．ここで $E_{k+1} \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ からカラテオドリの条件を用いると次の式が成立する．
$m^{*}(A \setminus \sqcup_{j=1}^{k}E_{j})=m^{*}((A \setminus \sqcup_{j=1}^{k}E_{j} )\cap E_{k+1})+m^{*}((A \setminus \sqcup_{j=1}^{k}E_{j}) \setminus E_{k+1})$
　　　　　　　　　　　　 $=m^{*}(A \cap E_{k+1})+m^{*}(A \setminus \sqcup_{j=1}^{k+1}E_{j})$ ．
ここで，各 $E_{j}$ どうしはどの2つも互いに素であることを用いた．以上より
$m^{*}(A) \geq \sum_{j=1}^{k} m^{*}(A \cap E_{j})+m^{*}(A \cap E_{k+1})+m^{*}(A \setminus \sqcup_{j=1}^{k+1}E_{j})$
　　　　　 $\geq \sum_{j=1}^{k+1} m^{*}(A \cap E_{j})+m^{*}(A \setminus \sqcup_{j=1}^{k+1}E_{j})$
がいえる．（証明終）