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補題の証明

数学 ルベーグ積分

補題
E_{j} \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d}), j  \in \mathbb{N}かつE_{j} \cap E_{k} = \emptyset,j \neq kならば任意のA \in 2^{\mathbb{R}^{d}}, k \in \mathbb{N}に対して\displaystyle m^{*}(A) \geq \sum_{j=1}^{k} m^{*}(A \cap E_{j})+m^{*}(A \setminus \bigsqcup_{j=1}^{k}E_{j})が成り立つ.□

(証明)
数学的帰納法を用いる.k=1カラテオドリの条件の式そのものである.
kで成立すると仮定する.すなわち
m^{*}(A) \geq \sum_{j=1}^{k} m^{*}(A \cap E_{j})+m^{*}(A \setminus \sqcup_{j=1}^{k}E_{j})
が成り立つとする.ここでE_{k+1} \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})からカラテオドリの条件を用いると次の式が成立する.
m^{*}(A \setminus \sqcup_{j=1}^{k}E_{j})=m^{*}((A \setminus \sqcup_{j=1}^{k}E_{j} )\cap E_{k+1})+m^{*}((A \setminus \sqcup_{j=1}^{k}E_{j}) \setminus E_{k+1})
            =m^{*}(A \cap E_{k+1})+m^{*}(A \setminus \sqcup_{j=1}^{k+1}E_{j})
ここで,各E_{j}どうしはどの2つも互いに素であることを用いた.以上より
m^{*}(A) \geq \sum_{j=1}^{k} m^{*}(A \cap E_{j})+m^{*}(A \cap E_{k+1})+m^{*}(A \setminus \sqcup_{j=1}^{k+1}E_{j})
     \geq \sum_{j=1}^{k+1} m^{*}(A \cap E_{j})+m^{*}(A \setminus \sqcup_{j=1}^{k+1}E_{j})
がいえる.(証明終)

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