補題（σ集合体）の証明 - べっこう色の記録

補題．
1) $\emptyset \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ ．
2) $E \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d}) \Rightarrow E^{c} \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ ．
3) $E,F \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d}) \Rightarrow E \setminus F \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ ．□

1) $\emptyset \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ ．
$\emptyset$ は零集合なのでルベーグ可測集合である．

2) $E \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d}) \Rightarrow E^{c} \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ ．
任意の $A \in 2^{\mathbb{R}^{d}}$ に対して，
　 $A \cap E = A \setminus E^{c}$ かつ $A \setminus E = A \cap E^{c}$
が成り立つので示される．

3) $E,F \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d}) \Rightarrow E \setminus F \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ ．
任意の $A \in 2^{\mathbb{R}^{d}}$ に対して，
　　 $m^{*}(A \cap (E \setminus F)) + m^{*}(A \setminus (E \setminus F))$
$=m^{*}(A \cap E \cap F^{c}) + m^{*}(A \cap (E^{c} \cup F))$
$=m^{*}(A \cap E \cap F^{c}) + m^{*}(A \cap (E^{c} \cup F) \cap E) + m^{*}(A \cap (E^{c} \cup F) \cap E^{c})$
　　　　　　（ $A \cap (E^{c} \cup F)$ を任意の集合とみて $E$ のカラテオドリの条件を用いた）
$=m^{*}(A \cap E \cap F^{c}) + m^{*}(A \cap F \cap E) + m^{*}(A \cap E^{c})$
$=m^{*}(A \cap E)+ m^{*}(A \cap E^{c})$ 　　（ $F$ のカラテオドリの条件を用いた）
$=m^{*}(A)$ ．　　　　　　　　　　　　　（ $E$ のカラテオドリの条件を用いた）　　　（証明終）