補題(σ集合体)の証明

補題
1)\emptyset \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})
2)E \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d}) \Rightarrow E^{c} \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})
3)E,F \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d}) \Rightarrow E \setminus F \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d}).□

1)\emptyset \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})
\emptysetは零集合なのでルベーグ可測集合である.

2)E \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d}) \Rightarrow E^{c} \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})
任意のA \in 2^{\mathbb{R}^{d}}に対して,
 A \cap E = A \setminus E^{c} かつ A \setminus E = A \cap E^{c}
が成り立つので示される.

3)E,F \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d}) \Rightarrow E \setminus F \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})
任意のA \in 2^{\mathbb{R}^{d}}に対して,
  m^{*}(A \cap (E \setminus F)) + m^{*}(A \setminus (E \setminus F))
=m^{*}(A \cap E \cap F^{c}) + m^{*}(A \cap (E^{c} \cup F))
=m^{*}(A \cap E \cap F^{c}) + m^{*}(A \cap (E^{c} \cup F) \cap E) + m^{*}(A \cap (E^{c} \cup F) \cap E^{c})
      (A \cap (E^{c} \cup F)を任意の集合とみてEカラテオドリの条件を用いた)
=m^{*}(A \cap E \cap F^{c}) + m^{*}(A \cap F \cap E) + m^{*}(A \cap E^{c})
=m^{*}(A \cap E)+ m^{*}(A \cap E^{c})  (Fカラテオドリの条件を用いた)
=m^{*}(A).             (Eカラテオドリの条件を用いた)   (証明終)