ルベーグ外測度でカラテオドリの条件を満たす集合系はσ集合体となる

１．ルベーグ外測度はカラテオドリの外測度の条件を満たす
２．ルベーグ外測度でカラテオドリの条件を満たす集合系 $\mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ は $\sigma$ 集合体となる
３．ルベーグ外測度を集合系 $\mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ 上に制限すると測度となる

今回は下線を示す．

定義．（ $\mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ ）
$\mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})=\{ \mathbb{R}^{d}$ の集合でカラテオドリの条件を満たす集合全体 $\}$
と定める． $\mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ に属する集合をルベーグ可測集合という．□

この定義で分かることは，カラテオドリの外測度が有限の値であってもその集合は可測とは限らないということである．
主定理を述べる．

定理．
$\mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ は $\mathbb{R}^{d}$ を含む $\sigma$ 集合体である．□

証明はいくつかの補題を示すことで示される．

補題．
1) $\emptyset \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ ．
2) $E \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d}) \Rightarrow E^{c} \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ ．
3) $E,F \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d}) \Rightarrow E \setminus F \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ ．□

次の補題が $\sigma$ 集合体であることを示す重要な補題である．

補題．
$E_{j} \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d}), j \in \mathbb{N}$ かつ $E_{j} \cap E_{k} = \emptyset,j \neq k$ ならば任意の $A \in 2^{\mathbb{R}^{d}}, k \in \mathbb{N}$ に対して $\displaystyle m^{*}(A) \geq \sum_{j=1}^{k} m^{*}(A \cap E_{j})+m^{*}(A \setminus \bigsqcup_{j=1}^{k}E_{j})$ が成り立つ．□

補題から直ちに次が従う．

補題．
$E_{j} \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d}), j \in \mathbb{N}$ かつ $E_{j} \cap E_{k} = \emptyset,j \neq k$ ならば $\displaystyle \bigsqcup_{j=1}^{\infty}E_{j} \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ ．□

補題を用いて定理を証明する．

（定理の証明）
σ集合体 - アクセス不能の原因。を満たすことを示す．
(ii)，(iii)は既に示したので，(i)の成立を示す．

任意の $\{ E_{j} \}_{j=1}^{\infty} \subset \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ をとる．
$\{F_{j} \}_{j=1}^{\infty} \subset \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ を $F_{1}:=E_{1}$ および $\displaystyle F_{j}:=E_{j} \setminus \bigcup_{k=1}^{j-1} E_{k} ,j \geq 2$ と定める．
定め方から $F_{j} \cap F_{k} = \emptyset, j \neq k$ であり，
補題より $\displaystyle \bigcup_{j=1}^{\infty} E_{j} = \bigsqcup_{j=1}^{\infty} F_{j} \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ となる．（証明終）