今からの流れは以下のようである.
1.ルベーグ外測度はカラテオドリの外測度の条件を満たす
2.ルベーグ外測度でカラテオドリの条件を満たす集合系は集合体となる
3.ルベーグ外測度を集合系上に制限すると測度となる
後の話になるが,一般の集合の測度や積分も全く同様に構成される.
すなわちこれからの議論はすべて一般の集合やカラテオドリの外測度に置き換えても成立する.
(証明)
カラテオドリの外測度 - アクセス不能の原因。
上記三条件を満たすことを示す.
(i)
]は明らかである.
またかつより,である.
(ii)
とする.
集合系でとなるならばとなる.
つまりとなる.
これより
であるから両辺のinfをとると,が示される.
(iii)
をとる.ならば明らかである.
と仮定する.任意のをとる.
各に対して,の定義(infの定義)により,
あるでかつとなるものが存在する.
集合の包含関係よりとなる.
これより
(は上の測度であるから)
.
は任意だったので
が示された. (証明終)