思い出の問題


関数y=\sqrt{x^{2}+2x+2}+\sqrt{x^{2}-4x+13}の最小値を求めよ.また,そのときのxの値を求めよ.

最初は微分法を用いて解こうと考えたが,計算量の多さで挫折.
二次式ということに着目すると,平方完成が有効であることに気がついた.

(解)
関数を変形すると
  y=\sqrt{(x+1)^{2}+1}+\sqrt{(x-2)^{2}+9}
   \, =\sqrt{(x+1)^{2}+1^{2}}+\sqrt{(x-2)^{2}+3^{2}}
   \, =\sqrt{(x+1)^{2}+(0-1)^{2}}+\sqrt{(x-2)^{2}+(0-3)^{2}}
となる.これは点(x,0)と点(-1,1)との距離及び点(x,0)と点(2,3)との距離の和である.
これは「川の水を汲む問題」であるから,点(-1,1)x軸対称の点(-1,-1)と点(2,3)との距離
  \sqrt{(-1-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=5
がこの関数の最小値である.
一方,二点(-1,-1),(2,3)を通る直線の方程式はy=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}である.
この直線とx軸との交点はx=-\frac{1}{4}である.これが最小値を与えるxである.
以上より,与えられた関数はx=-\frac{1}{4}のとき最小値5をとる.(終)

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