点と直線の距離の導出・２ - べっこう色の記録

前回は幾何学的ベクトルで導出した．
今回は方針は単純だが，計算が少々大変な方法で導出しよう．

定理．（平面上の点と直線の距離）
点 $(x_{0},y_{0})$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離 $d$ は
　　 $d=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
で与えられる．

（証明）
$b=0$ のときは $y$ 軸と平行な直線になるので，距離 $d$ は $|-\frac{c}{a}-x_{0}|=\frac{|ax_{0}+c|}{|a|}$ となるから示される．
$b \not{=} 0$ のときを示す．
直線上の点 $(x,y)$ と点 $(x_{0},y_{0})$ との距離の二乗 $d^{2}(x)$ は次の式になる．
　　 $d^{2}(x)=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}$ ．
ここで $b \not{=} 0$ より直線の方程式を $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$ と変形し代入する．
　　 $d^{2}(x)=(x-x_{0})^{2}+(\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}+y_{0})^{2}$ ．
二乗を展開し，変数 $x$ に関して平方完成すると，
　　 $d^{2}(x)=(1+\frac{a^{2}}{b^{2}})\Big(x+ \frac{-x_{0}b^{2}+ac+y_{0}ab}{a^{2}+b^{2}}\Big)^{2}+\frac{(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}$
となる．この平方の値の最小値が点と直線の距離となる．これは
　　 $d^{2}(x) \geq \frac{(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}$
であるから，
　　 $d^{2}=\frac{(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}$
となる．以上より
　　 $d=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
が示される．（証明終）