有限加法的集合体

定義3.(有限加法的集合環・体)
Xを一般の集合とする.
\mathcal{R} \subset \mathcal{P}(X)が次の条件を満たすとき有限加法的集合環という.
 (i) E,F \in \mathcal{R} \Rightarrow E \setminus F \in \mathcal{R}
 (ii) E,F \in \mathcal{R} \Rightarrow E \cup F \in \mathcal{R}
さらに
 (iii) X \in \mathcal{R}
を満たすとき\mathcal{R}有限加法的集合体という.□

\mathcal{R}が有限加法的集合体ならば次の2つの性質を持つ.
(イ)E \in \mathcal{R} \Rightarrow E^{c}=X \setminus E \in \mathcal{R}
(ロ)E,F \in \mathcal{R} \Rightarrow E \cap F = (E^{c} \cup F^{c} )^{c} \in \mathcal{R}
集合論で既知の性質E \setminus F = E \cap F^{c}を考えることで,上記(i)の代わりに(イ)を仮定してもよい.また,ド・モルガンの法則により,(ii)の代わりに(ロ)を仮定してもよい.

次に\mathcal{R}(\mathbb{R}^{d}):={\mathbb{R}^{d}有界右半開区間の有限個の和集合で表せる集合全体}と定める.
このとき\mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})は有限加法的集合環になる.

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