有限加法的集合体 - べっこう色の記録

定義3．（有限加法的集合環・体）
$X$ を一般の集合とする．
$\mathcal{R} \subset \mathcal{P}(X)$ が次の条件を満たすとき有限加法的集合環という．
　(i)　 $E,F \in \mathcal{R} \Rightarrow E \setminus F \in \mathcal{R}$
　(ii)　 $E,F \in \mathcal{R} \Rightarrow E \cup F \in \mathcal{R}$
さらに
　(iii)　 $X \in \mathcal{R}$
を満たすとき $\mathcal{R}$ を有限加法的集合体という．□

$\mathcal{R}$ が有限加法的集合体ならば次の2つの性質を持つ．
（イ） $E \in \mathcal{R} \Rightarrow E^{c}=X \setminus E \in \mathcal{R}$
（ロ） $E,F \in \mathcal{R} \Rightarrow E \cap F = (E^{c} \cup F^{c} )^{c} \in \mathcal{R}$
集合論で既知の性質 $E \setminus F = E \cap F^{c}$ を考えることで，上記(i)の代わりに（イ）を仮定してもよい．また，ド・モルガンの法則により，(ii)の代わりに（ロ）を仮定してもよい．

次に $\mathcal{R}(\mathbb{R}^{d}):=$ { $\mathbb{R}^{d}$ の有界右半開区間の有限個の和集合で表せる集合全体}と定める．
このとき $\mathcal{R}(\mathbb{R}^{d})$ は有限加法的集合環になる．