関数は,を満たすとする.
また,原点を通りなす角である直線をとする.
を回転軸とするの回転体の体積は次の式で与えられる.
(証明)
直線を軸であると考え,通常通り回転体の体積を求める.
ただしいくつかの注意がある.
(1) 軸が軸から傾いているので,関数はとは表せない.
そこで各点における関数の値はと表す.
(2) 直線を軸と思うので原点から点が積分区間である.
の言葉に直すと,積分区間は0からである.
以上の考察から,となる.
さてここでこの式を変数変換しよう.
直線に沿って値がだけ変化するとき,変数がだけ変化したとする.
このとき直線の傾きはであるから,軸方向へはだけ変化する.
三平方の定理によって,となる.
つまりが成立する.
これよりとして積分の変数を変換すると,
かつ は0からまでが積分区間となる.
さらに,点と直線の距離の公式によってが得られる.
以上よりである.
ここでに注意すると,上の式が得られる.(証明終)