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回転軸が傾いている回転体の体積

関数y=f(x) \quad (0 \leq x \leq a)は,f(0)=0,f(a)=bを満たすとする.
また,原点を通りなす角\thetaである直線を\ell : y=mxとする.
\ellを回転軸とするfの回転体の体積Vは次の式で与えられる.
  V=\int_{0}^{a}\pi  (f(x)-(\tan \theta)x)^{2}\cos \theta dx

(証明)
直線\ell\tilde{x}軸であると考え,通常通り回転体の体積を求める.
ただしいくつかの注意がある.
(1) 軸がx軸から傾いているので,関数はf(x)とは表せない.
そこで各点\tilde{x}における関数の値はd(\tilde{x})と表す.
(2) 直線\ellを軸と思うので原点から点(a,b)積分区間である.
\tilde{x}の言葉に直すと,積分区間は0から\sqrt{a^2 + b^2} = a \sqrt{1+m^2}である.
以上の考察から,\displaystyle V = \int_{0}^{a \sqrt{1+m^2}} \pi (d(\tilde{x}))^2 d \tilde{x}となる.
さてここでこの式を変数変換しよう.
直線\ellに沿って値が\Delta \tilde{x}だけ変化するとき,変数x\Delta xだけ変化したとする.
このとき直線の傾きはmであるから,y軸方向へはm \Delta xだけ変化する.
三平方の定理によって,(\Delta \tilde{x})^2 = (\Delta x) ^2 + (m \Delta x)^2となる.
つまり\Delta \tilde{x} = \sqrt{1+m^2} \Delta xが成立する.
これより\tilde{x} = \sqrt{1+m^2}xとして積分の変数を変換すると,
d \tilde{x}=\sqrt{1+m^2} dx かつ xは0からaまでが積分区間となる.
さらに,点と直線の距離の公式によってd(\tilde{x})=\frac{|f(x)-mx|}{\sqrt{1+m^2}}が得られる.
以上より\displaystyle V=\int_{0}^{a}\pi (\frac{|f(x)-mx|}{\sqrt{1+m^2}})^2 \sqrt{1+m^2} dxである.
ここでm = \tan \thetaに注意すると,上の式が得られる.(証明終)