無限乗積をやっているのは「素数の逆数和は発散する」のため

なぜここ数日無限乗積をやっているのか.
それは「素数の逆数和は発散する」を証明したいからである.
証明する気になった理由は素数の逆数和の発散のオーダーは \log(\log x) くらいだ,ということを知って証明の方針が立ったからだ.

おそらくこんな感じだろう.素数を小さい順に番号付けし,数列 \{ p_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}とする.

   1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}
 < (\frac{1}{2^{0}}+\frac{1}{2^{1}}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}})\cdots(\frac{1}{p_{n}^{0}}+\frac{1}{p_{n}^{1}}+\cdots+\frac{1}{p_{n}^{n-1}}) (☆)
 < \frac{1}{1-\frac{1}{2}} \times \cdots \times \frac{1}{1-\frac{1}{p_{n}}}   (無限級数で評価した)
 < e^{2(\frac{1}{2}+ \cdots +\frac{1}{p_{n}})}    ( \frac{1}{1-x} < e^{2x},\, 0 \leq x \leq \frac{1}{2}を用いた)

最左辺と最右辺で n \to \infty とすると調和級数は発散するから,最右辺も発散する.
これは素数の逆数和は発散することを意味する.
気になるのは,(☆)の部分の評価が成立するのかということである.
ここがいえればしっかりした証明になるだろう.