無限乗積を考える その2

数列 \{ a_{n} \}_{n \in \mathbb{N}} の無限乗積が x \not= 0 に収束すると仮定する.
Cauchyの収束条件に書き換える.
  \forall \varepsilon >0,\, \exists n_{0} \in \mathbb{N},\, |x_{m}-x_{n}|=|a_{1}\cdots a_{n}||a_{m}\cdots a_{n+1}-1|<\varepsilon for  m > n \geq n_{0}
仮定より,a_{1}\cdots a_{n} \to x  for n \to \infty であるから問題は |a_{m}\cdots a_{n+1}-1| の部分である.
これは\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n} =1を意味するので, \displaystyle  a_{n}=1+b_{n},\, \lim_{n \to \infty} b_{n}=0 となる b_{n} がとれる.
この前提の下で次の定理が成立する.

定理
a_{n}>0の条件下で次が成立する.
  \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty} a_{n} <\infty \Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} < \infty