無限乗積を考える

あまり考えたことのない話題だ.

定義.(無限乗積)
数列 \{ a_{n} \}_{n \in \mathbb{N}} に対して,新たな数列 \{ x_{n} \}_{n \in \mathbb{N}} を次で定義する.
  x_{n}:=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}  n \in \mathbb{N}
この数列 \{ x_{n} \}_{n \in \mathbb{N}} が極限 x \not= 0 に収束するとき,数列 \{ a_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}無限乗積x に収束するという.ただし,数列 \{ a_{n} \}_{n \in \mathbb{N}} の有限個の項が0を含む場合,それらを取り除いたときに無限乗積が収束するのであれば,数列 \{ a_{n} \}_{n \in \mathbb{N}} の無限乗積は0に収束するという.