無限乗積を考える - べっこう色の記録

あまり考えたことのない話題だ．

定義．（無限乗積）
数列 $\{ a_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}$ に対して，新たな数列 $\{ x_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}$ を次で定義する．
　　 $x_{n}:=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ 　　 $n \in \mathbb{N}$
この数列 $\{ x_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}$ が極限 $x \not= 0$ に収束するとき，数列 $\{ a_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}$ の無限乗積が $x$ に収束するという．ただし，数列 $\{ a_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}$ の有限個の項が0を含む場合，それらを取り除いたときに無限乗積が収束するのであれば，数列 $\{ a_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}$ の無限乗積は0に収束するという．