式の拡張は可能か

次の等式は有名である.
 (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2})=(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2})^{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}
さてこのブログ(?)ではよくある展開なのだが,この等式の拡張は可能なのだろうか.
すなわち次数を高次にしたり,項の数を増やしたり,ということだ.

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