ちょっとした整数問題


m,n \in \mathbb{Z}が互いに素であるための必要十分条件は,
m+n,mn \in \mathbb{Z}が互いに素であることである.

(証明)
対偶を証明する.
\Leftarrow
m,\, nが互いに素でないならば,m+n,\, mnは互いに素でない」を示す.
m,nが互いに素でないので,ある整数d>1m=dm',\, n=dn' となるものが存在する.
これよりmn=d^{2}m'n'かつm+n=d(m'+n')と表せる.
したがってm+n,\, mnは互いに素でないことが示された.

\Rightarrow
m+n,\, mnが互いに素でないならば,m,nは互いに素でない」を示す.
m+n,\, mn が互いに素でないので,ある素数pm+n=pa,\, mn=pbとなるものが存在する.
mn=pb から一般性を失うことなく,pn を割り切るとしてよい.
ここで m+n=pa の両辺を p で割ると,\frac{m}{p}+\frac{n}{p}=a となる.
変形して \frac{m}{p}=a-\frac{n}{p} となるが pn を割り切るので \frac{n}{p} は整数である.
ゆえに a-\frac{n}{p} は整数なので \frac{m}{p} は整数である.
したがって pm を割り切る.
すなわち m,n はいずれも p で割り切れることが分かった.
よって m,n は互いに素でないことが示された. (証明終)

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