対数の積分のちょっとした工夫

大それた話ではない.


次の不定積分を計算せよ.
(1)\int \log\, x dx
(2)\int \log (x+2) dx


以下C積分定数である.
(1)
よく知られた積分である.しかし1=(x)'は言われなければ気がつかないだろう。
  \int \log\, x dx
=\int (x)' \log\, x dx
=x \log\, x - \int \frac{1}{x}\cdot x dx   (部分積分
=x \log\, x - x + C

以下のように解いても解けるのだが,後で紹介するように上手い方法がある.
(2)その1
  \int \log(x+2) dx
=\int (x)' \log (x+2) dx
=x \log(x+2) - \int \frac{x}{x+2}  dx   (部分積分
=x \log(x+2) - \int (1-\frac{2}{x+2})  dx   (帯分数化)
=x \log(x+2) - x + 2 \log(x+2) + C

このように帯分数化する所で幾分もたつく.
次に紹介する少し上手い方法は1=(x+2)'とみることにある.
(2)その2
  \int \log(x+2) dx
=\int (x+2)' \log (x+2) dx
=(x+2) \log(x+2) - \int \frac{1}{x+2} \cdot (x+2) dx   (部分積分
=(x+2) \log(x+2) - x + C

帯分数化を約分によってうまく回避できるのである.