相加平均と相乗平均の不等式 - べっこう色の記録

命題．（相加平均と相乗平均の不等式）
$x,y,z>0$ とする．次の不等式が成立する．
（１）　 $\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}) \geq xy$ ．
（２）　 $\frac{1}{3}(x^{3}+y^{3}+z^{3}) \geq xyz$ ．

次のように因数分解で証明するのが初等的と思われる．

（証明）
（１）
（右辺）−（左辺） $= \frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}) - xy=\frac{1}{2}(x-y)^{2} \geq 0$ ．

（２）
（右辺）−（左辺）
$= \frac{1}{3}(x^{3}+y^{3}+z^{3}) - xyz$
$=\frac{1}{3}(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$
$=\frac{1}{3}(x+y+z)\times \frac{1}{2}((x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}) \geq 0$ ．　（証明終）

この調子で項が4の場合，5の場合と示していけそうだが，どうやらそれは知られていないらしい．

（追記）
一般の $n$ の場合は次の記事を参照してほしい。
orz107orz.hatenablog.com