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相加平均と相乗平均の不等式

命題.(相加平均と相乗平均の不等式)
x,y,z>0 とする.次の不等式が成立する.
(1) \frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}) \geq xy
(2) \frac{1}{3}(x^{3}+y^{3}+z^{3}) \geq xyz

次のように因数分解で証明するのが初等的と思われる.

(証明)
(1)
(右辺)−(左辺)= \frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}) - xy=\frac{1}{2}(x-y)^{2} \geq 0

(2)
(右辺)−(左辺)
= \frac{1}{3}(x^{3}+y^{3}+z^{3}) - xyz
=\frac{1}{3}(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)
=\frac{1}{3}(x+y+z)\times \frac{1}{2}((x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}) \geq 0. (証明終)

この調子で項が4の場合,5の場合と示していけそうだが,どうやらそれは知られていないらしい.