不等式の本より

外接円・内接円・オイラーの定理 - アクセス不能の原因。で紹介した本の問題を解いている.
次の問題は解き方はすぐにわかると思う.
しかし,展開し式変形をするだけだからこそ,実は工夫の余地があるのではないかと思うのだが思いつかない.

問.
a,b,c,d \in \mathbb{R}a+d=b+cを満たすとする.このとき
  (a-b)(c-d)+(a-c)(b-d)+(a-d)(b-c) \geq 0
を証明せよ.

(2016.4.17. 追記)
これならどうか.
(証明)
与えられた式からa-b=c-d=:\alphaa-c=b-d=:\betaとおく.
このとき\alpha + \beta = a-dかつ\alpha - \beta = -b + cとなる.
これらを代入すると
(a-b)(c-d)+(a-c)(b-d)+(a-d)(b-c)
= \alpha^2 + \beta^2 - (\alpha + \beta)(\alpha - \beta)
=2 \beta^2 \geq 0.(証明終)

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