不等式の本より - べっこう色の記録

外接円・内接円・オイラーの定理 - アクセス不能の原因。で紹介した本の問題を解いている．
次の問題は解き方はすぐにわかると思う．
しかし，展開し式変形をするだけだからこそ，実は工夫の余地があるのではないかと思うのだが思いつかない．

問．
$a,b,c,d \in \mathbb{R}$ は $a+d=b+c$ を満たすとする．このとき
　　 $(a-b)(c-d)+(a-c)(b-d)+(a-d)(b-c) \geq 0$
を証明せよ．

(2016.4.17. 追記）
これならどうか．
（証明）
与えられた式から $a-b=c-d=:\alpha$ ， $a-c=b-d=:\beta$ とおく．
このとき $\alpha + \beta = a-d$ かつ $\alpha - \beta = -b + c$ となる．
これらを代入すると
$(a-b)(c-d)+(a-c)(b-d)+(a-d)(b-c)$
$= \alpha^2 + \beta^2 - (\alpha + \beta)(\alpha - \beta)$
$=2 \beta^2 \geq 0$ ．（証明終）