点と直線の距離 - べっこう色の記録

定理．（平面上の点と直線の距離）
点 $(x_{0},y_{0})$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離 $d$ は
　　 $d=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
で与えられる．

（証明）
$b=0$ の場合はすぐにわかる．
$b \neq 0$ とする．直線 $ax+by+c=0$ の法線方向の幾何ベクトル $\vec{n}$ は
　　 $\vec{n}=\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}$
である．ここで点から直線に下ろした垂線の足を点 $(x_{1},y_{1})$ とする．このとき垂線と $\vec{n}$ は平行であるから実数 $k$ を用いて
　　 $k\vec{n}=\begin{pmatrix}x_{0}-x_{1} \\ y_{0}+\frac{a}{b}x_{1}+\frac{c}{b}\end{pmatrix}$
となる．成分表示で書くと
　　 $k\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{0}-x_{1} \\ y_{0}+\frac{a}{b}x_{1}+\frac{c}{b}\end{pmatrix}$