点と直線の距離

定理.(平面上の点と直線の距離)
(x_{0},y_{0}) と直線 ax+by+c=0 の距離d
  d=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}
で与えられる.

(証明)
b=0の場合はすぐにわかる.
b \neq 0とする.直線ax+by+c=0の法線方向の幾何ベクトル\vec{n}
  \vec{n}=\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}
である.ここで点から直線に下ろした垂線の足を点(x_{1},y_{1})とする.このとき垂線と\vec{n}は平行であるから実数kを用いて
  k\vec{n}=\begin{pmatrix}x_{0}-x_{1} \\ y_{0}+\frac{a}{b}x_{1}+\frac{c}{b}\end{pmatrix}
となる.成分表示で書くと
  k\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{0}-x_{1} \\ y_{0}+\frac{a}{b}x_{1}+\frac{c}{b}\end{pmatrix}

である.連立方程式とみなして,kについて解く(一本目をa倍,二本目をb倍して辺々加える)と

  k=\frac{ax_{0}+by_{0}+c}{a^{2}+b^{2}}

が得られる.ここで d=\parallel k\vec{n} \parallel=|k|\cdot \parallel \vec{n} \parallel かつ \parallel \vec{n}\parallel=\sqrt{a^{2}+b^{2}}より

  d=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}

が分かる.(証明終)

ノルムの記号が上手く表示されないのが心苦しい.

2014.8.5追記
ノルムの表示が\parallelでできることを知り修正した.