読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

微分積分学の基本定理を利用する問題

定理.(微分積分学の基本定理
 \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)
が成立する.ただし,aは定数である.

あまりにも有名な式だが,問題に登場するときには少し変化してくる.例えばこんな感じだ.


次のxについての関数を微分せよ.
 f(x)=\int_{1}^{2x} t^2 dt

これを何も考えずに微分積分学の基本定理をつかってしまうとこうなる.

 f'(x)=(2x)^2=4x^2

なかなかよさそうなのだが,この計算は誤っている.実際に積分を実行した後に微分してみると,
 f(x)=\frac{1}{3}\cdot((2x)^3 - 1)
である.よってxについて微分すると
 f'(x)=(2x)^2 \cdot 2
となる.つまり合成関数の微分法が考慮されていないがための失敗だったのだ.

もう一つ似たような問を残して終わることにする.


次のxについての関数を微分せよ.
 f(x)=\int_{1}^{x^2} t^2 dt