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常微分方程式の基本的な解法(二階線形常微分方程式)

次の常微分方程式を考える.
 \frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx}+2y=0

常微分方程式の講義を受けたことがある方々は即座に,
作用素Dを用いて
 (D^2+3D+2)y=0 \Leftrightarrow (D+1)(D+2)y=0
からy=C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{-x}として求めると思う.

ただこの方法だと公式的で,解き方を忘れたらアウト,という心配がつきまとう.
また突然の因数分解二次方程式の解)に面食らう.
実は今回の問は,工夫すると公式を覚える必要がない.
ポイントは数列の隣接三項漸化式のようにみることであり,ここからなぜ二次方程式を求めるのかということもわかる.

求める方程式y''+3y'+2y=0について,この式をy''+y'+2y'+2y=0と見ると,

 y''+y'=-2(y'+y)
であるから
 \frac{d}{dx}(y'+y)=-2(y'+y)
y'+yを一つの関数としてみると,これは一階常微分方程式であるからC_{1}を任意の定数として解は
 y'+y=C_{1}e^{-2x}   (1)
となる.一方
 y''+2y'=-(y'+2y)
とも見られるから
 \frac{d}{dx}(y'+2y)=-(y'+2y)
よりy'+2yを一つの関数としてみることで,任意の定数をC_{2}として解は
 y'+2y=C_{2}e^{-x}   (2)
となる.ここ(2)−(1)を実行して,y'を消去し,任意の定数C_{1}を改めて取り直すと
 y=C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{-x}
となり方程式の一般解が求められる.

やや見にくくなってしまったが,今日のところはこれでアップする.