常微分方程式の基本的な解法（二階線形常微分方程式）

次の常微分方程式を考える．
　 $\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx}+2y=0$ ．

常微分方程式の講義を受けたことがある方々は即座に，
作用素 $D$ を用いて
　 $(D^2+3D+2)y=0 \Leftrightarrow (D+1)(D+2)y=0$
から $y=C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{-x}$ として求めると思う．

ただこの方法だと公式的で，解き方を忘れたらアウト，という心配がつきまとう．
また突然の因数分解（二次方程式の解）に面食らう．
実は今回の問は，工夫すると公式を覚える必要がない．
ポイントは数列の隣接三項漸化式のようにみることであり，ここからなぜ二次方程式を求めるのかということもわかる．

求める方程式 $y''+3y'+2y=0$ について，この式を $y''+y'+2y'+2y=0$ と見ると，

　 $y''+y'=-2(y'+y)$
であるから
　 $\frac{d}{dx}(y'+y)=-2(y'+y)$
$y'+y$ を一つの関数としてみると，これは一階常微分方程式であるから $C_{1}$ を任意の定数として解は
　 $y'+y=C_{1}e^{-2x}$ 　　　（１）
となる．一方
　 $y''+2y'=-(y'+2y)$
とも見られるから
　 $\frac{d}{dx}(y'+2y)=-(y'+2y)$
より $y'+2y$ を一つの関数としてみることで，任意の定数を $C_{2}$ として解は
　 $y'+2y=C_{2}e^{-x}$ 　　　（２）
となる．ここ（２）−（１）を実行して， $y'$ を消去し，任意の定数 $C_{1}$ を改めて取り直すと
　 $y=C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{-x}$
となり方程式の一般解が求められる．