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難しき,ガンマ関数

ガンマ関数に触れたのは高校三年生の頃だった.
当時,高校の図書館にあった,大学生向け?の本に記載されていた.
とはいえ,当時の私は広義リーマン積分を知らなかったので雰囲気だけしか味わえなかった.

大学入学後,教養の数学で再び出会い,基本は学んだ.
しかし,ガンマ関数は出だしは快調に進むが,ある所から急に断崖絶壁,難度が急上昇する.
よっていまだに深くは分からない.
久々に解析概論を引っ張り出して眺めたが,やはり分からない.
勉強したいことが増えてしまったが,今日はどのサイトにもある基礎基本を記して満足しようと思う.

定義.(ガンマ関数)
\Gamma (x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dtをガンマ関数と呼ぶ.

ガンマ関数で最初に学ぶ基礎の性質は,なんといっても階乗の一般化というものだろう.

命題
\Gamma(x)=(x-1)\Gamma(x-1)が成立する.

(証明)
定義における積分に部分積分を実行する.
\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}(-e^{-t})'dt
    =[-t^{x-1}e^{-t}]_{t=0}^{\infty}+(x-1)\int_{0}^{\infty}t^{x-2}e^{-t}dt
    =0+(x-1)\Gamma(x-1).(証明終)

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