ヤングの不等式

威力のある不等式を紹介し,証明する.

命題.(ヤングの不等式)
1 < p , p' < \infty\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1を満たすとする.x , y >0に対して
 xy \leq \frac{1}{p}x^{p}+\frac{1}{p'}y^{p'}
が成立する.

(証明)
任意のy>0を固定し,f(x)= \frac{1}{p}x^{p}+\frac{1}{p'}y^{p'}-xy \quad (x>0)と定める.
変数xについて微分してf'(x)=x^{p-1}-yとなる.
x,\, y >0よりf'(x)=0となるxx=y^{\frac{1}{p-1}}である.
f(y^{\frac{1}{p-1}})=0であり,\displaystyle \lim_{x \to +0} f(x)=\frac{1}{p'}y^{p'}>0より関数fx>0においてf(x) \geq 0となる.
yは任意であったから,いかなるx,y>0に対しても\frac{1}{p}x^{p}+\frac{1}{p'}y^{p'}-xy \geq 0となる.(証明終)

(証明)
\logが上に凸な関数であることを用いる.
\log \left( \frac{1}{p}x^{p}+\frac{1}{p'}y^{p'} \right) \leq \frac{1}{p} \log x^{p}+\frac{1}{p'} \log y^{p'} = \log xy.(証明終)