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四角形と面積比

数学 幾何学


まったくしらない話だったのでメモしておく.

三角形の面積比について次の式が成立する.
 \triangle {\rm ABC} : \triangle {\rm ADC} = {\rm BE} : {\rm DE}
(証明)
{\rm AEB} = \thetaとおく.このとき
 \triangle {\rm ABC}=\frac{1}{2}{\rm AE} \cdot {\rm BE} \sin \theta + \frac{1}{2} {\rm CE} \cdot {\rm BE} \sin (180^\circ - \theta)
 \triangle {\rm ADC}=\frac{1}{2}{\rm CE} \cdot {\rm DE} \sin \theta + \frac{1}{2} {\rm AE} \cdot {\rm DE} \sin (180^\circ - \theta)
ここで \sin \theta = \sin (180^\circ -\theta)を用いると
 \triangle {\rm ABC} : \triangle {\rm ADC} = {\rm BE} : {\rm DE}
が示される. (証明終)

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