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常微分方程式の基本的な解法(完全微分形)

常微分方程式

   \frac{dx}{dt}(t)=\frac{f(x(t),t)}{g(x(t),t)}

は次の形に書き換えられる.

   f(x(t),t) dx + g(x(t),t) dt = 0.

ここでf,\, gは適宜取り替えてある.
今,ある関数u=u(x(t),t)が存在して,

   \frac{\partial u}{\partial x} =f,\quad \frac{\partial u}{\partial t} =g

を満たすなら,uの全微分duを用いて

  du = f(x(t),t) dx + g(x(t),t) dt = 0

と表せることがわかる.つまり,常微分方程式の解は

  u(x(t),t)=C

となる.