常微分方程式の基本的な解法(一階線形常微分方程式)

 次の常微分方程式を考える.

   \frac{dx}{dt}(t) + f(t)x(t)=g(t).   (1)

ただし,f=f(t),g=g(t)は与えられた関数である.
g \equiv 0 の場合を斉次といい,そうではないときを非斉次という.
 この常微分方程式を2段階に分けて解く.

(解)
1st step:斉次形を解く
 まず,次の斉次常微分方程式を解くことを考える.

  \frac{dx}{dt}(t) + f(t)x(t)=0.

この方程式は変数分離形なので解ける.実際,解は

  x(t)=C \exp \Big(- \int^{t} f(\tau) d \tau \Big)

である.ただしC積分定数である.

2nd step:定数変化法
 次に,1st stepで得られた解

   x(t)=C \exp \Big(- \int^{t} f(\tau) d \tau \Big)   (2)

積分定数Ctに依存した関数C(t)だと思い,
元の方程式(1)に代入する.(これを定数変化法と呼ぶ)

   \frac{d}{dt} \left( C(t) \exp \Big(- \int^{t} f(\tau) d \tau \Big) \right)+ f(t) C(t) \exp \Big(- \int^{t} f(\tau) d \tau \Big)=g(t).

微分を計算すると,

  \frac{d C}{dt}(t) \cdot \exp \Big(- \int^{t} f(\tau) d \tau \Big)=g(t)

が得られる.これより

  \frac{d C}{dt}(t) = \exp \Big(\int^{t} f(\tau) d \tau \Big) g(t)

となるから,両辺積分すると

  C(t)=\int^{t} \exp \Big(\int^{\tau} f(\tau') d \tau' \Big) g(\tau) d \tau + C

となる.ここでC積分定数である.(2)に代入すると(1)の解

  x(t)= \left( \int^{t} \exp \Big(\int^{\tau} f(\tau') d \tau' \Big) g(\tau) d \tau + C \right) \cdot \exp \Big(- \int^{t} f(\tau) d \tau \Big)

が得られる.   (終)