同次形について紹介する.
がについて同次式であり,
その次数が一致しているとき
(1)
は,同次形と呼ばれる.
ここで同次式の例を挙げておく.
例.はについて3次の同次式である.
さて,同次形の常微分方程式を解こう.ここでは次式であるとする.
解くために,が特別な形になっているものと仮定し,
それを突破口にする.すなわち,
(2)
とおく.これを(1)の右辺に代入すると,は次式であるから,
となり,のみの式となる.
一方,(1)の左辺もの式にするため,
(2)の両辺をで微分すると
である.よってこの式を(1)の右辺に代入すると,
が得られる.これより
となる.これは変数分離形である.