常微分方程式の基本的な解法（変数分離形）

　解くことができる常微分方程式をいくつか紹介する．
まずは，変数分離形の場合である．

　　 $\frac{dx}{dt}(t) = f(t)g(x(t))$

の形の常微分方程式を変数分離形という．
$g(x(t)) \not{=} 0$ の範囲で $g(x(t))$ を割ると

　　 $\frac{1}{g(x(t))}\frac{dx}{dt}(t) = f(t)$

となる．ここで積分変数を $\tau$ に変えて，両辺積分すると，

　　 $\int^{t} \frac{1}{g(x(\tau))}\frac{dx}{dt}(\tau) d \tau= \int^{t} f(\tau) d \tau + C$ 　　（ただし $C$ は積分定数）

が得られる．すなわち，（ $x(t)$ のみの式） $=$ （ $t$ のみの式）が成り立つ．
すなわち，解を得たということになる．
ここで積分定数 $C$ は初期値が定まれば，一意的に定まる．

例．
１． $\frac{dx}{dt}(t)=x(t), \quad x(0)=1.$
　両辺を $x(t) \not{=} 0$ の範囲で割って，
　　 $\frac{1}{x(t)}\frac{dx}{dt}(t)=1$
となる．積分変数を $\tau$ に変え， $0$ から $t$ まで積分すると，
　　 $\int_{0}^{t} \frac{1}{x(\tau)}\frac{dx}{d \tau}(\tau)= \int_{0}^{t} d \tau$
　　 $\log \left| \frac{x(t)}{x(0)} \right|= t$
$e^{t} > 0$ により，
　　 $x(t)=e^{t}$
が得られる．

２． $\frac{dx}{dt}(t)=(x(t))^{2}, \quad x(0)=1.$
　両辺を $x(t) \not{=} 0$ の範囲で割って，
　　 $\frac{1}{(x(t))^{2}}\frac{dx}{dt}(t)=1.$
１と同様にして，
　　 $-\frac{1}{x(t)}+\frac{1}{x(0)}=t$
これより
　　 $x(t)=\frac{1}{1-t}$
が得られる．

注意．
　例１と２は線形常微分方程式と非線形常微分方程式の違いを示している．
線形の場合（例１）は $t$ が如何なる場合にも $x(t)$ は有限の値である．
非線形の場合（例２）は $t \in (-\infty,1)$ の場合にしか定義されず，
$t \rightarrow 1-0$ とすると， $x(t) \uparrow \infty$ となる．これを解の爆発と呼ぶ．

べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

常微分方程式の基本的な解法（変数分離形）