Gronwallの不等式 - べっこう色の記録

ここでは，よく知られたGronwallの不等式を証明する．

定理．（Gronwallの不等式）
　 $g,h$ を半開区間 $[a,b) \subset \mathbb{R}$ 上連続で， $h \geq 0$ とする．このとき関数 $f \in C[a,b]$ が不等式
　　 $f(t) \leq g(t) + \int_{a}^{t} f(\tau)h(\tau) d \tau,\, \, t \in [a,b)$ 　　　（１）
を満たすならば，
　　 $f(t) \leq g(t) + \int_{a}^{t} g(\tau)h(\tau) \exp \Big( \int_{\tau}^{t} h(\tau') d \tau' \Big) d \tau,\, \, t \in [a,b)$
が成立する．

（証明）（１）の両辺に $h(t)\exp\Big( \int_{a}^{t} h(\tau') d \tau'\Big)$ を乗すと，
　　 $f(t)h(t)\exp\Big( -\int_{a}^{t} h(\tau') d \tau'\Big)\\ \quad -\int_{a}^{t} f(\tau)h(\tau) d \tau \cdot h(t)\exp\Big( -\int_{a}^{t} h(\tau') d \tau'\Big) \\ \quad \leq g(t)h(t)\exp\Big( -\int_{a}^{t} h(\tau') d \tau'\Big)$
により，
　　 $\frac{d}{dt}\bigg( \int_{a}^{t} f(\tau)h(\tau) d \tau \cdot \exp\Big(- \int_{a}^{t} h(\tau') d \tau'\Big) \bigg) \\ \quad \leq g(t)h(t)\exp\Big( -\int_{a}^{t} h(\tau') d \tau'\Big)$
が得られる．積分変数を $\tau$ に変え，両辺を $a$ から $t$ まで積分すると，
　　 $\int_{a}^{t} f(t)h(t) d t \cdot \exp\Big(- \int_{a}^{t} h(\tau') d \tau'\Big) \\ \quad \leq \int_{a}^{t} g(\tau)h(\tau)\exp\Big(- \int_{a}^{\tau} h(\tau') d \tau'\Big)d \tau$
が得られる．再び（１）より，左辺を下から評価して，
　　 $(f(t) -g(t))\cdot \exp\Big( -\int_{a}^{t} h(\tau') d \tau'\Big) \\ \quad \leq \int_{a}^{t} g(\tau)h(\tau)\exp\Big( -\int_{a}^{\tau} h(\tau') d \tau'\Big)d \tau$
により $\exp \Big( \int_{a}^{t} h(\tau') d \tau'\Big)$ を両辺に乗して
　　 $f(t) \leq g(t) + \int_{a}^{t} g(\tau)h(\tau) \exp \Big( \int_{\tau}^{t} h(\tau') d \tau' \Big) d \tau$
が得られる．よって示された．　　　□