Gronwallの不等式

ここでは,よく知られたGronwallの不等式を証明する.

定理.(Gronwallの不等式)
 g,hを半開区間[a,b) \subset \mathbb{R}上連続で,h \geq 0とする.このとき関数 f \in C[a,b] が不等式
  f(t) \leq g(t) + \int_{a}^{t} f(\tau)h(\tau) d \tau,\, \, t \in [a,b)   (1)
を満たすならば,
   f(t) \leq g(t) + \int_{a}^{t} g(\tau)h(\tau) \exp \Big( \int_{\tau}^{t} h(\tau') d \tau' \Big) d \tau,\, \, t \in [a,b)
が成立する.

証明)(1)の両辺に h(t)\exp\Big( \int_{a}^{t} h(\tau') d \tau'\Big)を乗すと,
  f(t)h(t)\exp\Big( -\int_{a}^{t} h(\tau') d \tau'\Big)\\ \quad -\int_{a}^{t} f(\tau)h(\tau) d \tau \cdot h(t)\exp\Big( -\int_{a}^{t} h(\tau') d \tau'\Big) \\ \quad \leq g(t)h(t)\exp\Big( -\int_{a}^{t} h(\tau') d \tau'\Big)
により,
  \frac{d}{dt}\bigg( \int_{a}^{t} f(\tau)h(\tau) d \tau \cdot \exp\Big(- \int_{a}^{t} h(\tau') d \tau'\Big) \bigg) \\ \quad \leq g(t)h(t)\exp\Big( -\int_{a}^{t} h(\tau') d \tau'\Big)
が得られる.積分変数を\tauに変え,両辺をaからtまで積分すると,
  \int_{a}^{t} f(t)h(t) d t \cdot \exp\Big(- \int_{a}^{t} h(\tau') d \tau'\Big) \\ \quad \leq \int_{a}^{t} g(\tau)h(\tau)\exp\Big(- \int_{a}^{\tau} h(\tau') d \tau'\Big)d \tau
が得られる.再び(1)より,左辺を下から評価して,
  (f(t) -g(t))\cdot \exp\Big( -\int_{a}^{t} h(\tau') d \tau'\Big) \\ \quad \leq \int_{a}^{t} g(\tau)h(\tau)\exp\Big( -\int_{a}^{\tau} h(\tau') d \tau'\Big)d \tau
により\exp \Big( \int_{a}^{t} h(\tau') d \tau'\Big)を両辺に乗して
   f(t) \leq g(t) + \int_{a}^{t} g(\tau)h(\tau) \exp \Big( \int_{\tau}^{t} h(\tau') d \tau' \Big) d \tau
が得られる.よって示された.   □

注意
1.証明のキーポイントはまさに, h(t)\exp\Big( \int_{a}^{t} h(\tau') d \tau'\Big)を(1)の両辺に乗したところである.
h \geq 0の仮定は,このとき不等号の向きが変わらない部分に効いている.

どこからこの発想がきているのかというと,一階線形常微分方程式
  \frac{df}{dt}(t)=g(t)+f(t)h(t)
の解を求める際に積分因子\exp(-h(t))をかけて積分するところからきていると思われる.

2.g,h[a,b)上連続という仮定は強すぎる.実際には[a,b)上可積分で十分である.