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常微分方程式の局所解の一意存在定理1

微分方程式 数学

今回から何回かに分けて,
常微分方程式の局所解の一意存在定理(Cauchy-Lipschitzの定理)
を証明する.設定は以下のようである.

R,r>0とする.{\mathbb R}^N \times \mathbb{R}における有界閉領域D=D(R,r)
\begin{equation} D(R,r):=\{ (x,t) \in \mathbb{R}^N \, \mid \, |x| \leq R,\, |t| \leq r \}\end{equation}
と定める.
Dにおけるベクトル値連続関数f
f=f(x,t)=\left( \begin{array}{cc} f_{1}(x,t)\\ \vdots \\ f_{N}(x,t)\\ \end{array} \right), \quad (x,t) \in D,
と表されるとする.
 このとき次の常微分方程式を考える.
   \frac{d}{dt}x(t)=f(x(t),t).
これは改めて列ベクトルの形で書くと,
  \left( \begin{array}{cc} \frac{d}{dt}x_{1}(t)\\ \vdots \\ \frac{d}{dt}x_{N}(t) \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} f_{1}(x(t),t)\\ \vdots \\ f_{N}(x(t),t) \end{array} \right)
という意味である.以上の設定の下,定理を述べる.

定理.(常微分方程式の局所解の一意存在定理)
 D=D(R,r)上の連続なベクトル値関数f=f(x,t),\, (x,t) \in Dは次の条件を満たすとする.
 1. M:= \max\{|f(x,t)|\, \mid \, (x,t) \in D\} < \infty とする.
 2.f空間変数xについてLipschitz連続,すなわち
   ある正定数Lが存在して,
     |f(x_{1},t)-f(x_{2},t)| \leq L |x_{1}-x_{2}|
   をすべての(x_{1},t),\, (x_{2},t) \in Dに対し満たすものとする.
このとき,次の常微分方程式の初期値問題
 \frac{d}{dt}x(t)=f(x(t),t),\, \, x(0)=0 \in \mathbb{R}^N
に対して,ある時刻T_{0}=T_{0}(N,R,r,M) \in (0, r)[-T_{0},T_{0}]上の局所解が一意的に存在する.

定理の注意を述べる.

注意
1.常微分方程式の初期値をx(0)=0としているが,これは簡単のためである.一般にx_{0} \in {\mathbb R}^N,\, t_{0} \in {\mathbb R}に対して,初期値を
  x(t_{0})=x_{0}
としてもかまわない.その場合には,領域D
 D=\{(x,t) \in \mathbb{R}^{N} \times \mathbb{R} \mid\, |x-x_{0}| \leq R,\, |t-t_{0}| \leq r \}
と修正した上で,同様の議論で示せる.
2.Lipschitz連続の条件はC^{1}の条件の必要条件である.
すなわち,fC^{1}級であれば定理が成立する.

次から定理の証明に入る.次のような流れで示す.
1.準備としてGronwallの不等式を証明
2.Picardの逐次近似法により近似解を構成
3.その近似解が収束すること
4.その極限が常微分方程式の解であることを示す

以降,証明に入りたい.