自然数のこと

初等整数論をやらなきゃいかん,と決意して勉強し始めたところ,除法の原理の証明で行き詰った.定理.(除法の原理) 自然数 に対して を満たす整数 が存在する.ただし である.ネットで検索したら,この証明はペアノの公理から始めて,最小値原理を認めな…

絶対値の初めの一歩

絶対値について書いておく.定義.(絶対値) 実数に対して,ならば,ならばをの絶対値という. の絶対値を記号で表す.□例. (1) (2) (3) このような問題は慣れればすぐにはずせる.しかし慣れないうちは以下のようにする. (解) であるからである. よっ…

過去の記事の修正

修正というとき,必ずしも改善であるとは限らないが,これは改善であるといえると思う.これらの記事についてである. orz107orz.hatenablog.com orz107orz.hatenablog.comかいつまんでいうと,級数について,という等式を使うと示せそうだよね,という話で…

n進数の初歩の初歩の初歩

正直に言うと、この話はそこまで詳しくない。 高校レベルくらいまでのことしか知らない。 そんな初歩の話を書いてみる試みだ。その1.普段の数 日常生活で使う数は31や1200と書かれる。 31は小学校以来「さんいち」ではなく「さんじゅういち」、1200は「い…

曲線の長さを極座標で

曲線が()と表されているとき,その曲線の長さは この式の意味をおおまかに考える。 方向の小さい変化に対して,この曲線の方向がと変化しているとする。 この分の曲線の長さはピタゴラスの定理でで求められる。 あとはこれらの曲線を足し合わせて極限をと…

2次関数の最大値・最小値の問題

2次関数の最大値・最小値の問題は,必ず関数のグラフで解決すべき問題だ。例題.関数 の最大値と最小値を求めよ。流れを確認する。 1.2次関数のグラフをかくために,関数を平方完成する。 2.頂点と端点に注目して関数のグラフをかく。 3.目で見て,高…

開集合の被覆

の開集合を可算個の開球体で被覆する話である.

差集合について

全体集合の部分集合をとする. このとき,差集合を次で定義する..差集合の集合算を考えたい.まず大切なこととして,であることは押えておく.命題1. .(証明) を示す. を言い換えると,かつかつである. とくに「かつ」は「かつ」である. 言い換え…

自然対数の積分表示

高校数学3ではじめてこの積分を習う.つまり,右辺を左辺で定義することもできるわけだ. 有名な対数の性質も左辺も証明できよう.例. .(解) について,という置換をおこなう. かつとなる. つまり.(終)

任意のεについて

高校ではまったく出てこないが重要な論法がある.命題. が定数で,任意のに対して, が成り立つならば である.□右辺にいくらでも小さくできる項が含まれていると,その項を取り除いても等号付きで不等号が成立する. 証明は背理法による.(証明) 背理法…

不等号のこと

不等号が学校ではじめて登場するのは小学校2年生なのだそうだ. もちろん私は初登場した日のことはまったく覚えていない.しかも「不等号」という名前を出さずに記号を使って数の大小を表現するに留まるのだそうだ. 小学校2年生では少し難しい単語だと判…

連続関数と可測関数

連続関数と可測関数の合成がまた可測関数になることを示す. 定理. 関数 を連続とする. または有限な値を持つ実数値可測関数とする. このとき,も可測関数である. 可測であること(証明) の開基として,開区間をとることができる. は連続であるからと…

「ほとんどすべて」a.e.

定義.(ほとんどすべて a.e.) に対する命題が,ある零集合の点を除いては成立するとき 命題はほとんどすべて(almost everywhere)のに対して成り立つ,といい a.e. と表す.□ 注意. 考える集合が明らかな場合,は省略可能である.□稠密でかつ零集合であ…

多項式にあらわす

多項式は通常次の形式をしている. この式を次のような表示に変更する場合,どのようにするだろうか. 方法1 代入 を第1式に代入して,展開する. について整理したのちを代入する. 計算をかんがえるとこの方法がよい.方法2 除法の原理 で割り算を実行…

連続写像の議論

連続写像の定義は一見よく分からない.位相空間,における写像が連続であるとは, 任意のに対してが成り立つことをいう.具体的な例で抽象論を取り扱ってみよう. 関数 が連続であるとする. このときという開区間に対して逆像を考える.

可測関数の定義と同値な条件

補題.(可測関数であるための条件) 関数 に対して次のそれぞれの条件は同値である. (i)関数 は可測関数である. (ii)任意の に対して,. (ii)任意の に対して,. (iv)任意の に対して,. (v)任意の に対して,. すぐ気がつくと思うが,不等号がどのよ…

半連続関数

定義.(半連続) を上の関数とし,値域はの部分集合であるとする. 任意の に対して,が成り立つとき,は下半連続関数である,という.また上記の集合の不等号をに変えたものが成り立つとき,上半連続関数であるという. 下半連続関数は下からのどのような…

アルキメデスの原理

物理で同じ名前の原理があるが,これはそれではない. 次の原理である.命題.(アルキメデスの原理) 任意のに対して,あるが存在してが成り立つ.□がどんなに「小さ」く, がどんなに「大きい」数でも, 2倍,3倍…とするといつかはその「大きい」数を追い…

確実に

確実にやっていくしかないようなので、そのとおりにします。 後は流れにのってやっていきます。

質量数

質量数というものを忘れてしまっている。 定義を忘れてしまうともうどうにもならない。 覚えなおし。覚えなおし。

二項分布から

二項分布というものがはじめて分かった。 分かってみると簡単なものだ。 ここから正規分布へはどうつながっていくのだろうか。 次はそれを知りたい。

列ベクトルの記述がどうなるのか

列ベクトルの表示がうまくいくかどうか… arrayを使うのか、という気がつき。

訂正の必要

過去の数学記事の表示がめちゃくちゃになっている。 訂正をしていかなければならない。

はてなブログに移行した

なんとなく暇だったのでブログへ移行した。 数式が打ち込めるかテストする↓ .

最近のできごと

強烈な頭痛がおこり、どうしようもなく一日を棒に振ったのが一昨日。 今日はすっかり回復して、ふらふらとネットをさまよっている。 健康になると、病気の苦しみを忘れてしまう。そうして今日を棒に振っている。 結局変わらないじゃないか…

ここ最近

休みなく動き回っている。 勉強に身が入らない。 早起きできないせいだ。 頑張って早く起きようと思う。

頭痛の原因

ここ2日頭痛に悩まされているのだが、今日その理由が分かった…と思う。 おそらく単純に睡眠不足である。 日中驚異的な眠気に苛まれている。 早く寝よう。

球面三角法

ここには球面三角法の内容が書き込まれる予定…

充電中

勉強などのからみで現在充電中。 もうすこしバッテリーがちゃんとたまったら数学の記事を書こうと思う。

微分に頼りすぎている

最近,最大最小値問題を解く機会が多いのだが, すぐに1変数の微分法に頼ってしまう. たしかに増減表を書けばあっさりと解決するが,賢くなった気がしない. 別解で学んでいこう.