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岩手大学2015農学部第5問を解く

問. (1) をで表せ. (2) をで表せ. (3) 関数のにおける最大値と最小値を求めよ.(1),(2)は典型的な三倍角の公式で,三角関数の加法定理を用いるのみ.解 (1) .(2) .(3) (1)および(2)を用いて関数を変形すると 三角関数の合成をおこなうと ただし,であ…

ジョルダン標準形再び

ジョルダン標準形をまた計算している. 2次正方行列の場合で大体の流れは思い出せる. ただ,計算時に使う定理を証明せよといわれれば難しい.

京大理系2006年後期第5問(水の問題)

問.(水の問題) ,とする.空間内において,原点と点Pを結ぶ線分を,軸のまわりに回転させてできる容器がある.この容器に水を満たし,原点から水面までの高さがのとき単位時間あたりの排水量がとなるように,水を排出する.すなわち,時刻tまでに排出され…

数列の和と一般項について

数学Bで学ぶことになるこの話題を取り上げる. 数列の初項から第項までの和をとすると, かつ が成り立つ. 教科書の問を解くとほぼ100%,の場合も一般項は成り立つのである. こうなると逆に成り立たない例は何だろうか,という問が生まれる. しかしこの問…

はに丸ジャーナルを見た

正直、かなり面白かった。私ははに丸をリアルタイムで見ていた世代ではない。 正真正銘のゆとり世代である。 だから、はに丸が元々どのようなキャラクターだったのか分からない。 先入観が全くないのだ。そういうわけで、5歳(!?)はに丸の切れ味の鋭い発…

2015第2問(2)について

今回は自力をつけるべく少しずつ場合分けして求めた. 実践的には余事象を使い,求めるべきだ.(2)(別解) 求める事象の余事象はが4個異なる場合である. これは通りである. 余事象の確率は. 求める事象の確率は.

こんにちは5月

Adobe関連のソフトの更新頻度が高すぎる。 ちょっと前に更新しても、すぐに再更新の通知が来る。こんなことを嘆きながら5月である。

さよなら4月

こうして4月が行ってしまうのである。 いまだに前年度を引きずっている。恐らく今年度一杯ひきずるだろう。今月は異常な暑さになり、ありえない勢いで桜が咲き、散った。 おだやかな日々がやってきてほしい。

そういうわけで

そういうわけで,違う凸関数を用いればうまくいくんじゃないか?という方針が見える. もう少し粘ってみよう.

イェンゼンの不等式と並べ替えの不等式

どちらの不等式も強力な不等式である.2つの不等式を鑑賞していたときだった. ふと「イェンゼンの不等式」はいかなる凸関数を持ってきても成り立つ, 適用範囲が大きい不等式であるから,「イェンゼンの不等式」⇒「並べ替えの不等式」 という証明が成り立ち…

岩手大学2015農学部第2問を解く

問. 1個のさいころを4回続けて投げ,出た目を1回目から順にとするとき,次の問いに答えよ.ただし,さいころは1回投げると1,2,3,4,5,6の目がそれぞれ等しい確率で出るものとする. (1) となる確率を求めよ. (2) のうち,異なるものが3種類以下となる…

前回の問題の(3)

以下の流れで解答した.1) からを求める 2) 三角関数の加法定理でを求める 3) 正弦定理で外接円の半径を求めるしかし,既に2つの角のコサインが分かっているのだから, 残りひとつもあっという間に出そうなものなのに…. もどかしさが募る.

岩手大学2015農学部第1問を解く

小問集合である. 1. (1) 2次方程式 の2つの解を とするとき, の値を求めよ. (2) 方程式 を解け. (3) △ABCにおいて,∠A,∠Bの大きさをそれぞれで表すとき,,であるとし,さらに辺ABの長さはであるとする.このとき,△ABCの外接円の半径を求めよ.解) …

整数問題

問. を満たす整数の組を求めよ.□解1) について解くとである. 左辺が整数であるから,右辺の分数も整数である. つまりより,を得る. よりである. よって,が求める整数の組である.□解2) 両辺にをかけるととなる. ここでであるから,である. 計算す…

不等式ネタ

数学難問集100から.問. のとき,を示せ.一般に次の不等式が成り立つ.命題.(チェビシェフの不等式) ,とする. このとき,不等式 が成立する.□さらに3をにかえても成立する.(証明) 両辺を3倍し,(右辺)−(左辺)を計算する. マイナスをはさんで…

頻出不等式

不等式が好きなので,よく目にとまる. 次の不等式は頻出の問題である.問. ,,とする.次の不等式を示せ. (1) (2) 解) (1) .(2) ((1)より) ((1)より) (より) .

多項式の積分

多項式の積分は結局,次が分かっていればなんとでもなる. .

移動日

今日は移動日。 疲れるかもなんて考えない。

睡眠不足

最近睡眠不足である。 中途半端に起きているのがよくないのだろう。 それなりに。

なんとなく

さて、早起きをしよう。 これを思い続けて2ヶ月。 毎日寝坊寸前である。

床関数(ガウス記号)の覚書

定義.(床関数) を超えない最大の整数 と定義し,この関数を床関数という.□大まかにいうと小数点以下を切り捨てる関数であるといえるが, どこのサイトにも書かれているとおり,負の数に対しては注意が必要である.例. . . . . (←ここが注意)床関…

料理を再開

学生のとき以来だが料理を再開した。やはり楽しい。 ストレス解消になる。 みるみるうちに太っていっていることは楽しくないのだが。

リハビリ

1週間忙しさにかまけて文章を書かなかった。なんとなくかなしくなってしまって、すぐに寝たりしていたからだ。ぼろぼろになりながら前へ。

重複組み合わせ

問. 1から6の数字から重複を許して3個の数字を選ぶ組み合わせは何通りか.□基本的な重複組み合わせである. この問は次のように言い換えられる.問’. を満たす整数の組み合わせは全部で何通りか.□ここでとし,とすることで,次の問題に言い換えられる.問…

新年度

年度が替わり、心機一転…そういうことになれば楽なのだが、依然として前のものを引きずっている。 うまくこなせなかったのだ。それなりに、なんとかしよう。

有名な不等式

問. 不等式を示せ.□ときおり見かける不等式である. 次の不等式が分かっていればたやすい.補題. が成立する.(証明) .(証明終)補題を使って解いてみよう.(解) (補題を用いた) (補題を用いた) .(終)文字を回して,解決するのは不等式証明…

作用反作用の法則

運動方程式はとてつもない式だが,この作用反作用の法則も大切だろう.ヘリコプターが頭の羽根をバタバタさせると, 本当ならこの作用反作用の法則で胴体も羽根と反対側にグルグル回るはずなのだ. これが尻尾にある羽根のおかげで,ぴたりと止まっているわ…

最大公約数と最小公倍数

定理. とする. をの最大公約数,をの最小公倍数とする. このとき,が成り立つ.□(証明) はの最大公約数であるから,互いに素であるを用いて および と表せる.またはの最小公倍数なので かつ と表せる.つまりで,両辺を で約分するとが成り立つ. とは…

記事

ルベーグ積分の記事を書くのには、非常にパワーがいる。 一度やって忘れてしまった内容ゆえである。 何とか…少しずつ書いていきたい。

曲率に慣れない

関数の各点における曲率を求めたのだがしっくりこない.

逆関数の微分に慣れる

逆関数の微分は,ライプニッツの記法により次のように書かれる. .まるで分数のように…と.関数ではどのようになるのか.

体調不良につき

おやすみなさい…

体調不良状態

風邪なのか何なのか知らないが、鼻水が止まらない。 どうやら花粉ではないようで…。 面倒なことになった。

マグニチュード

地震の規模を表す指標マグニチュードは次のように定義するそうだ. 地震のエネルギーを[J]とすると, が成り立つ.

ひとつ分が大事

「ひとつ分」の概念が肝心である。例えば速度はまさに「ひとつ分」を表す量である。例. ・時速5kmとは,1時間あたり5km進むということである ・分速60mとは,1分あたり60m進むということである

割引の割増

問. 元値円を8%割引した後,8%増した場合,値段はどうなるか. (1) 増える (2) 等しい (3) 減る答. 計算してみよう. 元値を8%割引すると,この値を8%増すと,円である. 後ろの括弧部分は展開できて, (を用いた) となる.これは元値より価格が減少する…

二次方程式の判別式

二次方程式の判別式は実数か否かの判定のときにも登場する. 理由は以下のとおり.(1) 二次方程式について,を判別式という. 特にの場合,二次方程式は実数解を持つ.基礎問題では具体的な二次方程式の解の判別に使われ, 基本問題では文字が含まれている二…

箱ひげ図

現在,数学Iでも教えられる箱ひげ図. その雑感をここに記していこうと思う.1) 描き方について データを5数要約し,平均を求める.5数要約とは,データの中の次の5個の数を用いて,データの特徴を述べることである. 最小値 第1四分位数(25%の位置にある…

じゃんけんの確率

有名事実であるが,じゃんけんは3人で行うときは公平である.問. 3人が1回じゃんけんする.次の確率を求めよ. (1) ひとりが勝つ確率 全事象は27通りである. あるひとりがパーで勝つのは,残りふたりがグーのときなのでである. チョキ,グーで勝つ確率も…

バームクーヘン積分

関数を軸の周りで回転させたときの体積はこれで決まりである.紹介する前にノーマルな積分の方法も紹介する. 連続で単調増加関数を考える. 数学IIIの教科書にもあるとおり,からおよび関数で囲まれた部分の 軸の回りの回転体の体積は次のようである. . …

インチの変換

よくスマートフォンでインチの単位が出てくる。 1インチ=2.54cmなのだそうだ。 だから、5インチは12.7cmであって…結構大きい。

連続関数の証明

実数上の関数で,既約分数に対しては分子を1にし,無理数に対しては0となる関数は 無理数では連続関数であることを示せ.

積の極限

問. かつならばを示せ.(解説) ・収束する数列は有界数列である.(証明) 任意のをとる. 収束する数列は有界数列であるから,あるが存在して, すべてのに対してである. ならば,あるが存在して,に対してが成り立つ. ならば,あるが存在して,に対し…

lim_[x → 2] √x = √2の証明

問. をε-δ論法で証明せよ.□(解説) ・よりである. よってである.(証明) 任意のをとる. を次を満たすように定める. (1) を満たすに対して (分子の有理化) . ((1)より) ε-δ論法よりが示された.(証明終)

lim_[x → 2] x^3 = 8の証明

ε-δ論法ネタその2. ネットで検索すると,「ε-δ論法って分かりにくいよね?解説するよ!」というサイトは多い. そしてそういったサイトは至極分かりやすい.一方,問題の解き方をそのものずばりで書いているサイトはあまり多くない気がする. というわけで…

連続関数の性質

問. 関数がにおいて連続で,ならば の十分近くのすべてのに対してとなる.□典型的なε-δ論法の練習問題である.(証明) 関数はで連続であるから, 任意のに対して,あるでならばとなるものが存在する. ととる.上の式で存在するを固定する. を満たすすべ…

解答例

問.(東京大学2004第1問) 平面の放物線上の3点が次の条件を満たしている. は一辺の長さの正三角形であり,点を通る直線の傾きはである. このとき,の値を求めよ.□上は完全に思い出話で終わってしまったが, 結局のところどうやって解くの,ということを…

忘れられない問題

忘れられない問題は多々あるが,その内のひとつは次の問題である.問.(東京大学2004第1問) 平面の放物線上の3点が次の条件を満たしている. は一辺の長さの正三角形であり,点を通る直線の傾きはである. このとき,の値を求めよ.□忘れもしない,私が初…

こんにちは3月

まだまだまだまだ続く、そんな年度末。 まるで永遠に続くかのようである。 それでも熱狂の中に吸い込まれていくのだろう。

重要な関数

関数()は重要な関数である.である. つまりとなる有界連続関数である.