岩手大学2016農学部第3問を解く

3. 89も29も素数なので,(1)はすぐ1であることが分かる. (2)以降の右辺が-20である意味がつかめないのが悔しい. おそらく何か由来があると思うのだが….次の問いに答えよ. (1)ユークリッドの互除法を用いて,89と29の最大公約数を求めよ. (2)2元1次不定…

素元と既約元

何度考えても混乱するのでまとめてみる. こういうところで書いておけば少しは頭に入るだろう. を可換環とする. が素元とはならばまたはが成り立つことを言う. が既約元とはならばまたはのいずれか一方が単元であることを言う. 単元とは逆元をもつ元のこ…

双曲線関数,再び

双曲線関数 - アクセス不能の原因。 ここでも書いたとおり,大学1年のころにを学んだ. こんなものがあるのか,と思いながらいまいち使う機会もなくぼんやりと覚えるにとどまった.最近,円の方程式からを定める話の類似で, 双曲線の方程式からと定めるこ…

数学の記事の定理などに証明を埋め込む

数学の記事を書くのは面白いのだが、困っていたのは証明である。 数学は証明が絶対必要だが、記事として読むときには少しわずらわしさを感じることがある。 大まかに概要をつかみたいときには証明はとにかく脇に置いておきたいときもある。今まではそういう…

岩手大学2016農学部第2問を解く

前回から大幅に開いてしまった….忙しかったのだ. 問題ももちろん忘れていたので結局解きなおした. 典型的な平面の幾何ベクトルである. 空間の幾何ベクトルが出なかったことに驚きを隠せない. なんだろう,空間の幾何ベクトルの問題だと正答率が下がるか…

岩手大学2016農学部第1問を解く

小問集合である. 昨年度同様,受験者を惑わせる,無駄に大きくどうでもいい数値設定である.1. (1) 2次関数 の最小値が負であるような定数 の範囲を求めよ. 解) 与えられた関数を平方完成すると である. 頂点の座標は なので, のとき最小値 である. …

多項式の既約判定について

を可換環とする. 多項式が上既約であるとは,単元でなく,積の形で書いたときに少なくともどちらか一方は単元であることを意味する. つまり 1) 2) ならば または からなる2条件を満たすときを言う.そうでないときは可約という.中学校や高校の段階では因…

図形と方程式・幾何ベクトル・複素平面の関係

高校の数学2で図形と方程式という分野を学ぶ。 このときまでは直線はで、放物線はということは知っている。 図形は方程式で表現できる、ということをこの新しい分野で学ぶわけだ。次に数学Bで幾何ベクトルを学び、さらに数学3で複素平面を、と進んでいく。…

e(自然対数の底、ネイピア数、ネピア数)の話

自然対数の底,ネイピア数と呼ばれる数eがある。 日本では数学IIIで学ぶ。教科書では次の定義で導入される。 この式を眺めていてもよく分からない。その理由は対数の微分にある。に導関数の定義式を適用する。 の極限を考えることになるが,最右辺のの中身が…

n次正方行列のスペクトル分解

スペクトル分解を学んだことがなかったので,少しだけ考えたあと教科書を調べた。 一般のn次正方行列でできると思って考えていたのだが,教科書には正規行列であることが必要十分とあった。もう少し勉強してから,ここに書くつもりである。

行列の軽い計算

対角化の計算をするときに,固有ベクトルをとって行列を作るわけだが, 次のことが気になっていた。命題. は零行列ではないn次正方行列とする。 ならばである。(証明) 背理法。と仮定する。 を右乗すると,左辺はからとなり矛盾する。(証明終)この零行…

級数の問題を解く(数列の問題との絡み)

この問はどうするか。 1) 級数ではないが,和の問題なので考えてみる。 解) as .このように一部が和の公式が使えるときは使うとよい。2) 有名な部分分数分解を使うときである。 解) までの和は部分分数分解を使うと次のとおりである。 (先頭と最後以…

級数の問題を解く(等比級数の具体的な計算)

前回 orz107orz.hatenablog.com を受けて,実際の問題で公式を使ってみよう。1) 初項が,公比がの無限等比級数である。 公比の絶対値が1より小さいので,公式が使える。 .2) かの有名な問題である。この・・・が曲者だ。 この・・・は何かを省略したも…

級数の問題を解く(等比級数)

今回は等比級数の一般論を扱う。つまり の形をしているものである。やはつまらないので除外することにする。級数の定義によって収束発散を議論しよう。 とおき,ひとまずこの和を計算する。等比数列の和の公式でとなる。 の極限をとるが,は分子のにのみ存在…

トレミーの定理の証明

あまり一般的ではない証明をつける。定理.(トレミーの定理) 円周上の4点に対して,が成立する.(証明) 図に対して以下のように角度を定める. 四角形の対角線とそのなす角は下の図のように,三角形の外角からである. よって四角形…(1)である. 次に三…

級数の問題を解く(導入)

いくつかの級数の問題は取り扱ってきたものの,初歩の問題はなぜかやらずにきた。面倒だったのかもしれない。 今回はそのような問題たちを扱う。ところで級数とは何か,という話を初めにしなければならないだろう。 級数(無限級数)とは,無限項の数列の和…

1/6公式からの発展

1/6公式はよく知られている.少し変えて,はどうだろうか. これはこのようになる. .右辺のはまとめられることが多いのだが,こうしておくと符号がどうなるかわかる. つまり被積分関数にを代入した際の符号に依存するということであって, この書き方であ…

食塩水の問題

小・中学校のとき,食塩水の問題が苦手だった. 10%の食塩水330gとかいわれて,このパーセントって何だ?となっていたからだ。「男女250人のうち30%が男子である。」という話題と変わらないのだが…。

加法定理も大事だけれど

この余角・補角の公式も大事だ。余角の公式 補角の公式 あとこれも。の公式 ところでどうしてを余角というのだろう。 それをいえば補角もだけど…。

等差数列の基礎

マニアックな数列ばかり取り扱って、基本的な数列をやっていなかった。このような数列を考える。 5, 8, 11, 14, … はじめの数に3ずつ足して作られる数列である。 同じ数を足している、ということは隣あったものどうしは差が一定ということである。 つまりで…

並べ替えの不等式

orz107orz.hatenablog.com この記事の意味がさっぱり分からない。 一体なにをしようとしていたのか…?今となってはもう解明できない気がする。この記事で述べられている、並べ替えの不等式はこのことだろうか。 3個のバージョンを書いておく。 実数およびに…

複素積分の値が媒介変数による例

前回の記事のつづき。 端点だけでは積分の値を1つに定められない例を挙げる。 つまり関数として正則でないものを挙げればよい。例.関数について考える。 端点をととし、複素積分を考える。 1) 積分路を実軸に沿って考えた場合 パラメータは()ととる。 .…

コーシーの積分定理の気持ちを自分なりにかいてみる

orz107orz.hatenablog.com コーシーの積分定理の主張はここでかいた。 驚異的な定理と書いたが、この定理の気持ちを自分なりに書いてみる。高校のころに学ぶ、実軸上の1変数関数の積分を思い出そう。 簡単のため閉区間上でである関数の積分を考える。 これ…

条件付き確率の有名な問題とその計算

ネット上でも有名なアレである。問.(隣の家の子どもの性別) 1) 隣の家に家族が越してきた。子どもが2人おり、1人は男であるという。2人とも男である確率を求めよ。 2) 隣の家に家族が越してきた。子どもが2人おり、そのうちの1人の男の子どもが外で…

自然数のこと

初等整数論をやらなきゃいかん,と決意して勉強し始めたところ,除法の原理の証明で行き詰った.定理.(除法の原理) 自然数 に対して を満たす整数 が存在する.ただし である.ネットで検索したら,この証明はペアノの公理から始めて,最小値原理を認めな…

絶対値の初めの一歩

絶対値について書いておく.定義.(絶対値) 実数に対して,ならば,ならばをの絶対値という. の絶対値を記号で表す.□例. (1) (2) (3) このような問題は慣れればすぐにはずせる.しかし慣れないうちは以下のようにする. (解) であるからである. よっ…

過去の記事の修正

修正というとき,必ずしも改善であるとは限らないが,これは改善であるといえると思う.これらの記事についてである. orz107orz.hatenablog.com orz107orz.hatenablog.comかいつまんでいうと,級数について,という等式を使うと示せそうだよね,という話で…

n進数の初歩の初歩の初歩

正直に言うと、この話はそこまで詳しくない。 高校レベルくらいまでのことしか知らない。 そんな初歩の話を書いてみる試みだ。その1.普段の数 日常生活で使う数は31や1200と書かれる。 31は小学校以来「さんいち」ではなく「さんじゅういち」、1200は「い…

曲線の長さを極座標で

曲線が()と表されているとき,その曲線の長さは この式の意味をおおまかに考える。 方向の小さい変化に対して,この曲線の方向がと変化しているとする。 この分の曲線の長さはピタゴラスの定理でで求められる。 あとはこれらの曲線を足し合わせて極限をと…

2次関数の最大値・最小値の問題

2次関数の最大値・最小値の問題は,必ず関数のグラフで解決すべき問題だ。例題.関数,の最大値と最小値を求めよ。流れを確認する。 1.2次関数のグラフをかくために,関数を平方完成する。 2.頂点と端点に注目して関数のグラフをかく。 3.目で見て,…