定理（ルベーグの優収束定理） 関数列は次の条件を満たすとする． 1) a.e. 2) あるですべてのに対して a.e.を満たすものが存在する． このときが成立する．注意 1) 関数列にの条件を課す必要はない． 2) と積分との交換がこのような単純な条件でできることが…

補題（ファトゥの補題） ならば が成り立つ．（証明） 関数列を考える．各に対して であるから，単調収束定理が使える． で従う．（証明終）

ベッポ・レヴィの定理を用いると単調収束定理が証明できる．定理（単調収束定理） に対して が成り立つ．（証明） とおく． に注意してベッポ・レヴィの定理を用いればよい．（証明終）

単調増加な列に対する収束定理を取り扱う． 収束定理とは，と積分の順序交換を保証する定理である．定理（ベッポ・レヴィの定理） 非負可測関数列に対して， が成り立つ．この等式の右辺または左辺が無限大であれば，両辺共に無限大となる．積分範囲が示され…

いよいよルベーグ積分の定義に入っていこう．[1] 非負単関数 非負単関数に対して，そのルベーグ積分を と定義する．[2] 非負可測関数 非負可測関数に対して，そのルベーグ積分を はを満たす非負値単関数 と定義する．可測集合上の積分はに指示関数を乗したも…

定義（単関数） 値を有限個しか持たない関数を単関数という．ただし値としてを許す． 数式で表すとが単関数であるとは次のとおりである． および相異なる実数を用いて とかけることである．ここでは集合の指示関数（特性関数）といい のときで，のときを満た…

このルベーグ積分の話を始めた２年以上前の記事を見ると次のようなことが書いてある．「すべての話の始まりは，様々な図形の面積・体積を測るにはどうすればいいかということだ． 素朴に考えると，長方形の面積・体積を定義し， 他の図形は長方形の近似で考…

(1)は座標の決定なのでなるべく低い次数の方程式に帰着させるほうがよいと思う． (2)はいくつかの方針が考えられる． 代入することでの方程式にするか，の方程式にするか，の方程式にするか． そのあとは定数を分離するか，判別式か．5． 放物線と円について…

(3)の面積比で少しだけ驚いた． 試験会場で余裕がなくなっているとがむしゃらに計算することになるだろう． 実際には曲線と接線で囲まれた部分の面積なので， 被積分関数が因数分解できることを考えるとそうでもない． 4． 曲線をとし，曲線上の点における接…

3． 89も29も素数なので，(1)はすぐ1であることが分かる． (2)以降の右辺が-20である意味がつかめないのが悔しい． おそらく何か由来があると思うのだが…．次の問いに答えよ． (1)ユークリッドの互除法を用いて，89と29の最大公約数を求めよ． (2)2元1次不定…

何度考えても混乱するのでまとめてみる． こういうところで書いておけば少しは頭に入るだろう． を可換環とする． が素元とはならばまたはが成り立つことを言う． が既約元とはならばまたはのいずれか一方が単元であることを言う． 単元とは逆元をもつ元のこ…

双曲線関数 - アクセス不能の原因。 ここでも書いたとおり，大学１年のころにを学んだ． こんなものがあるのか，と思いながらいまいち使う機会もなくぼんやりと覚えるにとどまった．最近，円の方程式からを定める話の類似で， 双曲線の方程式からと定めるこ…

数学の記事を書くのは面白いのだが、困っていたのは証明である。 数学は証明が絶対必要だが、記事として読むときには少しわずらわしさを感じることがある。 大まかに概要をつかみたいときには証明はとにかく脇に置いておきたいときもある。今まではそういう…

前回から大幅に開いてしまった…．忙しかったのだ． 問題ももちろん忘れていたので結局解きなおした． 典型的な平面の幾何ベクトルである． 空間の幾何ベクトルが出なかったことに驚きを隠せない． なんだろう，空間の幾何ベクトルの問題だと正答率が下がるか…

小問集合である． 昨年度同様，受験者を惑わせる，無駄に大きくどうでもいい数値設定である．１． (1) 2次関数 の最小値が負であるような定数 の範囲を求めよ． 解） 与えられた関数を平方完成すると である． 頂点の座標は なので， のとき最小値 である． …

を可換環とする． 多項式が上既約であるとは，単元でなく，積の形で書いたときに少なくともどちらか一方は単元であることを意味する． つまり 1) 2) ならば または からなる2条件を満たすときを言う．そうでないときは可約という．中学校や高校の段階では因…

well-definedであることをよくわかるには，そうでない例を作るのがいいのではないか．例 をと決めてみる． 一見よさそうである． しかしであるが，であるから像が一致しないので写像でない．同一のものが2通りで表現されるとき，well-definedであることは確…

群はどんな構造になっているのか，が分かればよい． 構造がよく分かっている群と，よく分からない群を橋渡しするのが準同型写像である．定義（準同型写像） 群から群への写像が を満たすとき，の準同型写像という．群の演算が写像を介しても保たれている，と…

可解群の性質は比較的保存される． それらを命題にしてまとめる．命題 は可解群で，ならばは可解群である．（証明） は可解群であるから， 1) という列で， 2) がアーベル群 を満たすものが存在する．ここで群の部分集合に対して，と定める．ならばは部分群…

ガロア理論を用いて開冪により代数方程式の解の公式が表されるか，ということを示す際，この可解群の話は避けられない． 定義を眺めるといくぶんやる気がそがれると思うが，とりあえず書こう．定義（可解群） 群が可解群である，とは 1) という正規部分群の…

高校の数学２で図形と方程式という分野を学ぶ。 このときまでは直線はで、放物線はということは知っている。 図形は方程式で表現できる、ということをこの新しい分野で学ぶわけだ。次に数学Bで幾何ベクトルを学び、さらに数学３で複素平面を、と進んでいく。…

自然対数の底，ネイピア数と呼ばれる数eがある。 日本では数学IIIで学ぶ。教科書では次の定義で導入される。 この式を眺めていてもよく分からない。その理由は対数の微分にある。に導関数の定義式を適用する。 の極限を考えることになるが，最右辺のの中身が…

スペクトル分解を学んだことがなかったので，少しだけ考えたあと教科書を調べた。 一般のn次正方行列でできると思って考えていたのだが，教科書には正規行列であることが必要十分とあった。もう少し勉強してから，ここに書くつもりである。

対角化の計算をするときに，固有ベクトルをとって行列を作るわけだが， 次のことが気になっていた。命題． は零行列ではないn次正方行列とする。 ならばである。（証明） 背理法。と仮定する。 を右乗すると，左辺はからとなり矛盾する。（証明終）この零行…

この問はどうするか。 １） 級数ではないが，和の問題なので考えてみる。 解） as ．このように一部が和の公式が使えるときは使うとよい。２） 有名な部分分数分解を使うときである。 解） までの和は部分分数分解を使うと次のとおりである。 （先頭と最後以…

前回 orz107orz.hatenablog.com を受けて，実際の問題で公式を使ってみよう。１） 初項が，公比がの無限等比級数である。 公比の絶対値が1より小さいので，公式が使える。 ．２） かの有名な問題である。この・・・が曲者だ。 この・・・は何かを省略したも…

今回は等比級数の一般論を扱う。つまり の形をしているものである。やはつまらないので除外することにする。級数の定義によって収束発散を議論しよう。 とおき，ひとまずこの和を計算する。等比数列の和の公式でとなる。 の極限をとるが，は分子のにのみ存在…

あまり一般的ではない証明をつける。定理．（トレミーの定理） 円周上の４点に対して，が成立する．（証明） 図に対して以下のように角度を定める． 四角形の対角線とそのなす角は下の図のように，三角形の外角からである． よって四角形…(1)である． 次に三…

いくつかの級数の問題は取り扱ってきたものの，初歩の問題はなぜかやらずにきた。面倒だったのかもしれない。 今回はそのような問題たちを扱う。ところで級数とは何か，という話を初めにしなければならないだろう。 級数（無限級数）とは，無限項の数列の和…

1/6公式はよく知られている．少し変えて，はどうだろうか． これはこのようになる． ．右辺のはまとめられることが多いのだが，こうしておくと符号がどうなるかわかる． つまり被積分関数にを代入した際の符号に依存するということであって， この書き方であ…