級数の問題を解く(等比級数)

今回は等比級数の一般論を扱う。つまり の形をしているものである。やはつまらないので除外することにする。級数の定義によって収束発散を議論しよう。 とおき,ひとまずこの和を計算する。等比数列の和の公式でとなる。 の極限をとるが,は分子のにのみ存在…

トレミーの定理の証明

あまり一般的ではない証明をつける。定理.(トレミーの定理) 円周上の4点に対して,が成立する.(証明) 図に対して以下のように角度を定める. 四角形の対角線とそのなす角は下の図のように,三角形の外角からである. よって四角形…(1)である. 次に三…

級数の問題を解く(導入)

いくつかの級数の問題は取り扱ってきたものの,初歩の問題はなぜかやらずにきた。面倒だったのかもしれない。 今回はそのような問題たちを扱う。ところで級数とは何か,という話を初めにしなければならないだろう。 級数(無限級数)とは,無限項の数列の和…

1/6公式からの発展

1/6公式はよく知られている.少し変えて,はどうだろうか.

食塩水の問題

小・中学校のとき,食塩水の問題が苦手だった. 10%の食塩水330gとかいわれて,このパーセントって何だ?となっていたからだ。「男女250人のうち30%が男子である。」という話題と変わらないのだが…。

加法定理も大事だけれど

この余角・補角の公式も大事だ。余角の公式 補角の公式 あとこれも。の公式 ところでどうしてを余角というのだろう。 それをいえば補角もだけど…。

等差数列の基礎

マニアックな数列ばかり取り扱って、基本的な数列をやっていなかった。このような数列を考える。 5, 8, 11, 14, … はじめの数に3ずつ足して作られる数列である。 同じ数を足している、ということは隣あったものどうしは差が一定ということである。 つまりで…

並べ替えの不等式

orz107orz.hatenablog.com この記事の意味がさっぱり分からない。 一体なにをしようとしていたのか…?今となってはもう解明できない気がする。この記事で述べられている、並べ替えの不等式はこのことだろうか。 3個のバージョンを書いておく。 実数およびに…

複素積分の値が媒介変数による例

前回の記事のつづき。 端点だけでは積分の値を1つに定められない例を挙げる。 つまり関数として正則でないものを挙げればよい。例.関数について考える。 端点をととし、複素積分を考える。 1) 積分路を実軸に沿って考えた場合 パラメータは()ととる。 .…

コーシーの積分定理の気持ちを自分なりにかいてみる

orz107orz.hatenablog.com コーシーの積分定理の主張はここでかいた。 驚異的な定理と書いたが、この定理の気持ちを自分なりに書いてみる。高校のころに学ぶ、実軸上の1変数関数の積分を思い出そう。 簡単のため閉区間上でである関数の積分を考える。 これ…

条件付き確率の有名な問題とその計算

ネット上でも有名なアレである。問.(隣の家の子どもの性別) 1) 隣の家に家族が越してきた。子どもが2人おり、1人は男であるという。2人とも男である確率を求めよ。 2) 隣の家に家族が越してきた。子どもが2人おり、そのうちの1人の男の子どもが外で…

自然数のこと

初等整数論をやらなきゃいかん,と決意して勉強し始めたところ,除法の原理の証明で行き詰った.定理.(除法の原理) 自然数 に対して を満たす整数 が存在する.ただし である.ネットで検索したら,この証明はペアノの公理から始めて,最小値原理を認めな…

絶対値の初めの一歩

絶対値について書いておく.定義.(絶対値) 実数に対して,ならば,ならばをの絶対値という. の絶対値を記号で表す.□例. (1) (2) (3) このような問題は慣れればすぐにはずせる.しかし慣れないうちは以下のようにする. (解) であるからである. よっ…

過去の記事の修正

修正というとき,必ずしも改善であるとは限らないが,これは改善であるといえると思う.これらの記事についてである. orz107orz.hatenablog.com orz107orz.hatenablog.comかいつまんでいうと,級数について,という等式を使うと示せそうだよね,という話で…

n進数の初歩の初歩の初歩

正直に言うと、この話はそこまで詳しくない。 高校レベルくらいまでのことしか知らない。 そんな初歩の話を書いてみる試みだ。その1.普段の数 日常生活で使う数は31や1200と書かれる。 31は小学校以来「さんいち」ではなく「さんじゅういち」、1200は「い…

曲線の長さを極座標で

曲線が()と表されているとき,その曲線の長さは この式の意味をおおまかに考える。 方向の小さい変化に対して,この曲線の方向がと変化しているとする。 この分の曲線の長さはピタゴラスの定理でで求められる。 あとはこれらの曲線を足し合わせて極限をと…

2次関数の最大値・最小値の問題

2次関数の最大値・最小値の問題は,必ず関数のグラフで解決すべき問題だ。例題.関数 の最大値と最小値を求めよ。流れを確認する。 1.2次関数のグラフをかくために,関数を平方完成する。 2.頂点と端点に注目して関数のグラフをかく。 3.目で見て,高…

開集合の被覆

の開集合を可算個の開球体で被覆する話である.

差集合について

全体集合の部分集合をとする. このとき,差集合を次で定義する..差集合の集合算を考えたい.まず大切なこととして,であることは押えておく.命題1. .(証明) を示す. を言い換えると,かつかつである. とくに「かつ」は「かつ」である. 言い換え…

自然対数の積分表示

高校数学3ではじめてこの積分を習う.つまり,右辺を左辺で定義することもできるわけだ. 有名な対数の性質も左辺も証明できよう.例. .(解) について,という置換をおこなう. かつとなる. つまり.(終)

任意のεについて

高校ではまったく出てこないが重要な論法がある.命題. が定数で,任意のに対して, が成り立つならば である.□右辺にいくらでも小さくできる項が含まれていると,その項を取り除いても等号付きで不等号が成立する. 証明は背理法による.(証明) 背理法…

不等号のこと

不等号が学校ではじめて登場するのは小学校2年生なのだそうだ. もちろん私は初登場した日のことはまったく覚えていない.しかも「不等号」という名前を出さずに記号を使って数の大小を表現するに留まるのだそうだ. 小学校2年生では少し難しい単語だと判…

連続関数と可測関数

連続関数と可測関数の合成がまた可測関数になることを示す. 定理. 関数 を連続とする. または有限な値を持つ実数値可測関数とする. このとき,も可測関数である. 可測であること(証明) の開基として,開区間をとることができる. は連続であるからと…

「ほとんどすべて」a.e.

定義.(ほとんどすべて a.e.) に対する命題が,ある零集合の点を除いては成立するとき 命題はほとんどすべて(almost everywhere)のに対して成り立つ,といい a.e. と表す.□ 注意. 考える集合が明らかな場合,は省略可能である.□稠密でかつ零集合であ…

多項式にあらわす

多項式は通常次の形式をしている. この式を次のような表示に変更する場合,どのようにするだろうか. 方法1 代入 を第1式に代入して,展開する. について整理したのちを代入する. 計算をかんがえるとこの方法がよい.方法2 除法の原理 で割り算を実行…

連続写像の議論

連続写像の定義は一見よく分からない.位相空間,における写像が連続であるとは, 任意のに対してが成り立つことをいう.具体的な例で抽象論を取り扱ってみよう. 関数 が連続であるとする. このときという開区間に対して逆像を考える.

可測関数の定義と同値な条件

補題.(可測関数であるための条件) 関数 に対して次のそれぞれの条件は同値である. (i)関数 は可測関数である. (ii)任意の に対して,. (ii)任意の に対して,. (iv)任意の に対して,. (v)任意の に対して,. すぐ気がつくと思うが,不等号がどのよ…

半連続関数

定義.(半連続) を上の関数とし,値域はの部分集合であるとする. 任意の に対して,が成り立つとき,は下半連続関数である,という.また上記の集合の不等号をに変えたものが成り立つとき,上半連続関数であるという. 下半連続関数は下からのどのような…

アルキメデスの原理

物理で同じ名前の原理があるが,これはそれではない. 次の原理である.命題.(アルキメデスの原理) 任意のに対して,あるが存在してが成り立つ.□がどんなに「小さ」く, がどんなに「大きい」数でも, 2倍,3倍…とするといつかはその「大きい」数を追い…

確実に

確実にやっていくしかないようなので、そのとおりにします。 後は流れにのってやっていきます。