解析学

偶関数と奇関数

が任意のに対して成立する関数を偶関数という. が任意のに対して成立する関数を奇関数という.命題. いかなる関数も偶関数と奇関数の和で書き表せる.実際に,と書き表せる. このとき第一項は偶関数,第二項は奇関数である.これはどうやって思いついたん…

凸関数

級関数について (1)区間内で常にが成り立つ (2)区間内のとに対して不等式 が成り立つ定理. (1)と(2)は同値である.証明が厄介だ.不等式の証明は(右辺)-(左辺)の関数を考えて,微分して増減表(ヘルダーの不等式の証明のように)が楽だがそれはちょっとつま…

有名な極限(チェザロ平均)

この極限の問は,論法を学ぶ際には避けて通れない.問1. ならば,.収束する数列の平均値も同一の極限値に収束するという,有名な事実であり,かつこの事実は論法を使わなければ証明できないので解析学の入門書には必ず登場する.(例えば,高木貞治『解析…

sin x / x について

高校の教科書に登場する,三角関数の微分はこの式が出発点になる. .こうして登場するについての諸事情(証明法・循環論法になること・条件収束と絶対収束…など)は,あらゆるサイトに書かれているから,改めて私が書くことはない.私が書きたかったことは…

微分積分学の基本定理を利用する問題

定理.(微分積分学の基本定理) が成立する.ただし,は定数である.あまりにも有名な式だが,問題に登場するときには少し変化してくる.例えばこんな感じだ.問. 次のについての関数を微分せよ. .これを何も考えずに微分積分学の基本定理をつかってしま…

等式とその極限2(ライプニッツの補題)

昨日の記事 http://d.hatena.ne.jp/orz107orz/20140123/1390478210 で「雰囲気が味わえる」と書いたのは,和の個数がからまでと偶数個の場合のみだからだ. しかし,次の定理を使えばが成立することが示せる.定理.(ライプニッツの補題) 正数列 が ならば…

等式とその極限

このような等式を知った. . (1) この等式を用いれば区分求積法から, となるから,の雰囲気が味わえる.(1)の証明は数学的帰納法による. (証明) の場合,(左辺)かつ,(右辺)より成立する. の場合に成立すると仮定して,の場合を示す. この…

常微分方程式の基本的な解法(二階線形常微分方程式)

次の常微分方程式を考える. .常微分方程式の講義を受けたことがある方々は即座に, 作用素を用いて からとして求めると思う.ただこの方法だと公式的で,解き方を忘れたらアウト,という心配がつきまとう. また突然の因数分解(二次方程式の解)に面食ら…

難しき,ガンマ関数

ガンマ関数に触れたのは高校三年生の頃だった. 当時,高校の図書館にあった,大学生向け?の本に記載されていた. とはいえ,当時の私は広義リーマン積分を知らなかったので雰囲気だけしか味わえなかった.大学入学後,教養の数学で再び出会い,基本は学ん…

1/6公式

有名な公式たる1/6公式を載せておこう. . 教科書にも載っている.この手の公式は色々なバリエーションがある.1/3公式や1/12公式がそれだ. しかし…あまりにも公式化しすぎるのはどうなんだろう. 問題を作った大学側からは煙たがられるかもしれない.

ヤングの不等式

威力のある不等式を紹介し,証明する.命題.(ヤングの不等式) が を満たすとする.に対して が成立する.(証明) 任意のを固定し,と定める. 変数について微分してとなる. よりとなるはである. であり,より関数はにおいてとなる. は任意であったか…

無理関数を含む積分

大学初等レベルの微分積分学の教科書には必ず記載されている, を計算するための手法は思いつきにくい. (1)の場合,(2)の場合といずれの場合も変数変換を行う.(1)の場合 (突然ではあるが)と変数変換すれば計算可能である.(2)の場合 二次式に二つの相異…