数学

東進数学コンクール第44回に挑んだ

かなり手ごわかった. いままで関数方程式を真剣に考えたことがなかっただけにつらかった. あまりに冗長になったが,なんとか一応の解答を得たので公開する. ちなみに締切日は昨日だった. 問題は東進のWebページで見てもらいたい. 解答はいつごろ発表な…

控えめな有理数(滋賀医科大学医学部2016)

「控えめな」という変わった名づけ方なので、これには数学的にそうすべき理由があると思われる。 (2)が大ヒントであって、これがなければ思いつきにくいと思う。 そして問題の全体的な議論は可換環のイデアルの問題の初歩に似ているように感じる。2. 分母…

最小公倍数を求める方法

とする.定理. が成立する.(証明) (は互い素)とする. このときであるからとなる. よってとなる.(証明終)この定理を眺めると,最小公倍数を求める手順に次のようなものがあることに気がつく. 1.ユークリッドの互除法でを求める. 2.をで割り,2…

ユークリッドの互除法について

の最大公約数をと表す.定理.(ユークリッドの互除法) を整数として,をで割った余りをとする. このとき,.教科書の証明はなんだか文章ばかりで難しかった覚えがある. 今ならできるだろうか…?(証明) をで割った商をとするとと表せる. 右辺をみると…

カップル成立の確率

安田亨先生の伝説の良問100を読んでいたら,次の問題があった。問. 男性が2人,女性が2人いる。各々は自分の異性をでたらめに1人指名する。 互いに相手を指名すればカップルが成立するものとして, ちょうど1組カップルが成立する確率を求めよ。n人まで一般…

ルベーグ積分の定義

いよいよルベーグ積分の定義に入っていこう.[1] 非負単関数 非負単関数に対して,そのルベーグ積分を と定義する.[2] 非負可測関数 非負可測関数に対して,そのルベーグ積分を はを満たす非負値単関数 と定義する.可測集合上の積分はに指示関数を乗したも…

単関数列と可測関数

定義(単関数) 値を有限個しか持たない関数を単関数という.ただし値としてを許す. 数式で表すとが単関数であるとは次のとおりである. および相異なる実数を用いて とかけることである.ここでは集合の指示関数(特性関数)といい のときで,のときを満た…

リーマン積分からルベーグ積分への転換は「たて」から「よこ」へにある

このルベーグ積分の話を始めた2年以上前の記事を見ると次のようなことが書いてある.「すべての話の始まりは,様々な図形の面積・体積を測るにはどうすればいいかということだ. 素朴に考えると,長方形の面積・体積を定義し, 他の図形は長方形の近似で考…

岩手大学2016農学部第5問を解く

(1)は座標の決定なのでなるべく低い次数の方程式に帰着させるほうがよいと思う. (2)はいくつかの方針が考えられる. 代入することでの方程式にするか,の方程式にするか,の方程式にするか. そのあとは定数を分離するか,判別式か.5. 放物線と円について…

岩手大学2016農学部第4問を解く

(3)の面積比で少しだけ驚いた. 試験会場で余裕がなくなっているとがむしゃらに計算することになるだろう. 実際には曲線と接線で囲まれた部分の面積なので, 被積分関数が因数分解できることを考えるとそうでもない. 4. 曲線をとし,曲線上の点における接…

岩手大学2016農学部第3問を解く

3. 89も29も素数なので,(1)はすぐ1であることが分かる. (2)以降の右辺が-20である意味がつかめないのが悔しい. おそらく何か由来があると思うのだが….次の問いに答えよ. (1)ユークリッドの互除法を用いて,89と29の最大公約数を求めよ. (2)2元1次不定…

素元と既約元

何度考えても混乱するのでまとめてみる. こういうところで書いておけば少しは頭に入るだろう. を可換環とする. が素元とはならばまたはが成り立つことを言う. が既約元とはならばまたはのいずれか一方が単元であることを言う. 単元とは可換な元のことを…

双曲線関数,再び

双曲線関数 - アクセス不能の原因。 ここでも書いたとおり,大学1年のころにを学んだ. こんなものがあるのか,と思いながらいまいち使う機会もなくぼんやりと覚えるにとどまった.最近,円の方程式からを定める話の類似で, 双曲線の方程式からと定めるこ…

岩手大学2016農学部第2問を解く

前回から大幅に開いてしまった….忙しかったのだ. 問題ももちろん忘れていたので結局解きなおした. 典型的な平面の幾何ベクトルである. 空間の幾何ベクトルが出なかったことに驚きを隠せない. なんだろう,空間の幾何ベクトルの問題だと正答率が下がるか…

岩手大学2016農学部第1問を解く

小問集合である. 昨年度同様,受験者を惑わせる,無駄に大きくどうでもいい数値設定である.1. (1) 2次関数 の最小値が負であるような定数 の範囲を求めよ. 解) 与えられた関数を平方完成すると である. 頂点の座標は なので, のとき最小値 である. …

多項式の既約判定について

を可換環とする. 多項式が上既約であるとは,単元でなく,積の形で書いたときに少なくともどちらか一方は単元であることを意味する. つまり 1) 2) ならば または からなる2条件を満たすときを言う.そうでないときは可約という.中学校や高校の段階では因…

開集合の被覆

の開集合を可算個の開球体で被覆する話である.

差集合について

全体集合の部分集合をとする. このとき,差集合を次で定義する..差集合の集合算を考えたい.まず大切なこととして,であることは押えておく.命題1. .(証明) を示す. を言い換えると,かつかつである. とくに「かつ」は「かつ」である. 言い換え…

自然対数の積分表示

高校数学3ではじめてこの積分を習う.つまり,右辺を左辺で定義することもできるわけだ. 有名な対数の性質も左辺も証明できよう.例. .(解) について,という置換をおこなう. かつとなる. つまり.(終)

任意のεについて

高校ではまったく出てこないが重要な論法がある.命題. が定数で,任意のに対して, が成り立つならば である.□右辺にいくらでも小さくできる項が含まれていると,その項を取り除いても等号付きで不等号が成立する. 証明は背理法による.(証明) 背理法…

不等号のこと

不等号が学校ではじめて登場するのは小学校2年生なのだそうだ. もちろん私は初登場した日のことはまったく覚えていない.しかも「不等号」という名前を出さずに記号を使って数の大小を表現するに留まるのだそうだ. 小学校2年生では少し難しい単語だと判…

連続関数と可測関数

連続関数と可測関数の合成がまた可測関数になることを示す. 定理. 関数 を連続とする. または有限な値を持つ実数値可測関数とする. このとき,も可測関数である. 可測であること(証明) の開基として,開区間をとることができる. は連続であるからと…

「ほとんどすべて」a.e.

定義.(ほとんどすべて a.e.) に対する命題が,ある零集合の点を除いては成立するとき 命題はほとんどすべて(almost everywhere)のに対して成り立つ,といい a.e. と表す.□ 注意. 考える集合が明らかな場合,は省略可能である.□稠密でかつ零集合であ…

多項式にあらわす

多項式は通常次の形式をしている. この式を次のような表示に変更する場合,どのようにするだろうか. 方法1 代入 を第1式に代入して,展開する. について整理したのちを代入する. 計算をかんがえるとこの方法がよい.方法2 除法の原理 で割り算を実行…

連続写像の議論

連続写像の定義は一見よく分からない.位相空間,における写像が連続であるとは, 任意のに対してが成り立つことをいう.具体的な例で抽象論を取り扱ってみよう. 関数 が連続であるとする. このときという開区間に対して逆像を考える.

可測関数の定義と同値な条件

補題.(可測関数であるための条件) 関数 に対して次のそれぞれの条件は同値である. (i)関数 は可測関数である. (ii)任意の に対して,. (ii)任意の に対して,. (iv)任意の に対して,. (v)任意の に対して,. すぐ気がつくと思うが,不等号がどのよ…

半連続関数

定義.(半連続) を上の関数とし,値域はの部分集合であるとする. 任意の に対して,が成り立つとき,は下半連続関数である,という.また上記の集合の不等号をに変えたものが成り立つとき,上半連続関数であるという. 下半連続関数は下からのどのような…

アルキメデスの原理

物理で同じ名前の原理があるが,これはそれではない. 次の原理である.命題.(アルキメデスの原理) 任意のに対して,あるが存在してが成り立つ.□がどんなに「小さ」く, がどんなに「大きい」数でも, 2倍,3倍…とするといつかはその「大きい」数を追い…

球面三角法

ここには球面三角法の内容が書き込まれる予定…

微分に頼りすぎている

最近,最大最小値問題を解く機会が多いのだが, すぐに1変数の微分法に頼ってしまう. たしかに増減表を書けばあっさりと解決するが,賢くなった気がしない. 別解で学んでいこう.