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数学

最小公倍数を求める方法

とする.定理. が成立する.(証明) (は互い素)とする. このときであるからとなる. よってとなる.(証明終)この定理を眺めると,最小公倍数を求める手順に次のようなものがあることに気がつく. 1.ユークリッドの互除法でを求める. 2.をで割り,2…

ユークリッドの互除法について

の最大公約数をと表す.定理.(ユークリッドの互除法) を整数として,をで割った余りをとする. このとき,.教科書の証明はなんだか文章ばかりで難しかった覚えがある. 今ならできるだろうか…?(証明) をで割った商をとするとと表せる. 右辺をみると…

カップル成立の確率

安田亨先生の伝説の良問100を読んでいたら,次の問題があった。問. 男性が2人,女性が2人いる。各々は自分の異性をでたらめに1人指名する。 互いに相手を指名すればカップルが成立するものとして, ちょうど1組カップルが成立する確率を求めよ。n人まで一般…

岩手大学2016農学部第5問を解く

(1)は座標の決定なのでなるべく低い次数の方程式に帰着させるほうがよいと思う. (2)はいくつかの方針が考えられる. 代入することでの方程式にするか,の方程式にするか,の方程式にするか. そのあとは定数を分離するか,判別式か.5. 放物線と円について…

岩手大学2016農学部第4問を解く

(3)の面積比で少しだけ驚いた. 試験会場で余裕がなくなっているとがむしゃらに計算することになるだろう. 実際には曲線と接線で囲まれた部分の面積なので, 被積分関数が因数分解できることを考えるとそうでもない. 4. 曲線をとし,曲線上の点における接…

岩手大学2016農学部第3問を解く

3. 89も29も素数なので,(1)はすぐ1であることが分かる. (2)以降の右辺が-20である意味がつかめないのが悔しい. おそらく何か由来があると思うのだが….次の問いに答えよ. (1)ユークリッドの互除法を用いて,89と29の最大公約数を求めよ. (2)2元1次不定…

素元と既約元

何度考えても混乱するのでまとめてみる. こういうところで書いておけば少しは頭に入るだろう. を可換環とする. が素元とはならばまたはが成り立つことを言う. が既約元とはならばまたはのいずれか一方が単元であることを言う. 単元とは可換な元のことを…

双曲線関数,再び

双曲線関数 - アクセス不能の原因。 ここでも書いたとおり,大学1年のころにを学んだ. こんなものがあるのか,と思いながらいまいち使う機会もなくぼんやりと覚えるにとどまった.最近,円の方程式からを定める話の類似で, 双曲線の方程式からと定めるこ…

岩手大学2016農学部第2問を解く

前回から大幅に開いてしまった….忙しかったのだ. 問題ももちろん忘れていたので結局解きなおした. 典型的な平面の幾何ベクトルである. 空間の幾何ベクトルが出なかったことに驚きを隠せない. なんだろう,空間の幾何ベクトルの問題だと正答率が下がるか…

岩手大学2016農学部第1問を解く

小問集合である. 昨年度同様,受験者を惑わせる,無駄に大きくどうでもいい数値設定である.1. (1) 2次関数 の最小値が負であるような定数 の範囲を求めよ. 解) 与えられた関数を平方完成すると である. 頂点の座標は なので, のとき最小値 である. …

多項式の既約判定について

を可換環とする. 多項式が上既約であるとは,単元でなく,積の形で書いたときに少なくともどちらか一方は単元であることを意味する. つまり 1) 2) ならば または からなる2条件を満たすときを言う.そうでないときは可約という.中学校や高校の段階では因…

開集合の被覆

の開集合を可算個の開球体で被覆する話である.

差集合について

全体集合の部分集合をとする. このとき,差集合を次で定義する..差集合の集合算を考えたい.まず大切なこととして,であることは押えておく.命題1. .(証明) を示す. を言い換えると,かつかつである. とくに「かつ」は「かつ」である. 言い換え…

自然対数の積分表示

高校数学3ではじめてこの積分を習う.つまり,右辺を左辺で定義することもできるわけだ. 有名な対数の性質も左辺も証明できよう.例. .(解) について,という置換をおこなう. かつとなる. つまり.(終)

任意のεについて

高校ではまったく出てこないが重要な論法がある.命題. が定数で,任意のに対して, が成り立つならば である.□右辺にいくらでも小さくできる項が含まれていると,その項を取り除いても等号付きで不等号が成立する. 証明は背理法による.(証明) 背理法…

不等号のこと

不等号が学校ではじめて登場するのは小学校2年生なのだそうだ. もちろん私は初登場した日のことはまったく覚えていない.しかも「不等号」という名前を出さずに記号を使って数の大小を表現するに留まるのだそうだ. 小学校2年生では少し難しい単語だと判…

連続関数と可測関数

連続関数と可測関数の合成がまた可測関数になることを示す. 定理. 関数 を連続とする. または有限な値を持つ実数値可測関数とする. このとき,も可測関数である. 可測であること(証明) の開基として,開区間をとることができる. は連続であるからと…

「ほとんどすべて」a.e.

定義.(ほとんどすべて a.e.) に対する命題が,ある零集合の点を除いては成立するとき 命題はほとんどすべて(almost everywhere)のに対して成り立つ,といい a.e. と表す.□ 注意. 考える集合が明らかな場合,は省略可能である.□稠密でかつ零集合であ…

多項式にあらわす

多項式は通常次の形式をしている. この式を次のような表示に変更する場合,どのようにするだろうか. 方法1 代入 を第1式に代入して,展開する. について整理したのちを代入する. 計算をかんがえるとこの方法がよい.方法2 除法の原理 で割り算を実行…

連続写像の議論

連続写像の定義は一見よく分からない.位相空間,における写像が連続であるとは, 任意のに対してが成り立つことをいう.具体的な例で抽象論を取り扱ってみよう. 関数 が連続であるとする. このときという開区間に対して逆像を考える.

可測関数の定義と同値な条件

補題.(可測関数であるための条件) 関数 に対して次のそれぞれの条件は同値である. (i)関数 は可測関数である. (ii)任意の に対して,. (ii)任意の に対して,. (iv)任意の に対して,. (v)任意の に対して,. すぐ気がつくと思うが,不等号がどのよ…

半連続関数

定義.(半連続) を上の関数とし,値域はの部分集合であるとする. 任意の に対して,が成り立つとき,は下半連続関数である,という.また上記の集合の不等号をに変えたものが成り立つとき,上半連続関数であるという. 下半連続関数は下からのどのような…

アルキメデスの原理

物理で同じ名前の原理があるが,これはそれではない. 次の原理である.命題.(アルキメデスの原理) 任意のに対して,あるが存在してが成り立つ.□がどんなに「小さ」く, がどんなに「大きい」数でも, 2倍,3倍…とするといつかはその「大きい」数を追い…

球面三角法

ここには球面三角法の内容が書き込まれる予定…

微分に頼りすぎている

最近,最大最小値問題を解く機会が多いのだが, すぐに1変数の微分法に頼ってしまう. たしかに増減表を書けばあっさりと解決するが,賢くなった気がしない. 別解で学んでいこう.

sin^n θの典型問題再び

問. とするとき,を示せ.もう一度考え直す.2乗を出すより1乗を出したほうが自然のような気がする.(解) . について解くと,示すべき式が得られる.(終)

平行線公準の話

この話は最終的にはもちろん非ユークリッド幾何の話に行き着いてしまうのだが… そこの手前,この公準が仮定されれば何ができるのかという話である.まず簡単に分かるのは,次の錯角の話である.定理. 平行線の錯角は等しい.□中学校で習う,大変有益な定理…

極限の問題

もう少しいい方法があるかもしれないが,思いつかないのでこのままアップロードする.問. とする.このときを示せ.□(証明) とする. 数列が十分大きいについては単調減少列であることを示す. 隣接二項の比がであるから, となるすべてのに対してが成立…

確率漸化式

反復する確率は漸化式に直す.

sin^n θの典型問題

定積分に関する典型問題をひとつ.問. とするとき,を示せ.解. 部分積分法を実行する. . について解くと,を得る.

岩手大学2015農学部第3問アを解く

問. 四面体OABCにおいて,辺OAの中点をP,辺BCを2:1に内分する点をQ,辺OCを1:3に内分する点をR,辺ABをに内分する点をSとする.ただし,とする.また,とおくとき,次の問いに答えよ. (1) をおよびで表せ. (2) をおよびで表せ. (3) 線分PQと線分RSが交…

確率変数の期待値

確率変数に対して,確率分布が与えられているとする. このとき期待値を次の式で定義する. .さてこの定義を見て,次を求めよといわれたらどうするだろうか. 『2つの確率変数に対して,期待値を求めよ.』

岩手大学2015農学部第5問を解く

問. (1) をで表せ. (2) をで表せ. (3) 関数のにおける最大値と最小値を求めよ.(1),(2)は典型的な三倍角の公式で,三角関数の加法定理を用いるのみ.解 (1) .(2) .(3) (1)および(2)を用いて関数を変形すると 三角関数の合成をおこなうと ただし,であ…

ジョルダン標準形再び

ジョルダン標準形をまた計算している. 2次正方行列の場合で大体の流れは思い出せる. ただ,計算時に使う定理を証明せよといわれれば難しい.

京大理系2006年後期第5問(水の問題)

問.(水の問題) ,とする.空間内において,原点と点Pを結ぶ線分を,軸のまわりに回転させてできる容器がある.この容器に水を満たし,原点から水面までの高さがのとき単位時間あたりの排水量がとなるように,水を排出する.すなわち,時刻tまでに排出され…

数列の和と一般項について

数学Bで学ぶことになるこの話題を取り上げる. 数列の初項から第項までの和をとすると, かつ が成り立つ. 教科書の問を解くとほぼ100%,の場合も一般項は成り立つのである. こうなると逆に成り立たない例は何だろうか,という問が生まれる. しかしこの問…

2015第2問(2)について

今回は自力をつけるべく少しずつ場合分けして求めた. 実践的には余事象を使い,求めるべきだ.(2)(別解) 求める事象の余事象はが4個異なる場合である. これは通りである. 余事象の確率は. 求める事象の確率は.

そういうわけで

そういうわけで,違う凸関数を用いればうまくいくんじゃないか?という方針が見える. もう少し粘ってみよう.

イェンゼンの不等式と並べ替えの不等式

どちらの不等式も強力な不等式である.2つの不等式を鑑賞していたときだった. ふと「イェンゼンの不等式」はいかなる凸関数を持ってきても成り立つ, 適用範囲が大きい不等式であるから,「イェンゼンの不等式」⇒「並べ替えの不等式」 という証明が成り立ち…

岩手大学2015農学部第2問を解く

問. 1個のさいころを4回続けて投げ,出た目を1回目から順にとするとき,次の問いに答えよ.ただし,さいころは1回投げると1,2,3,4,5,6の目がそれぞれ等しい確率で出るものとする. (1) となる確率を求めよ. (2) のうち,異なるものが3種類以下となる…

前回の問題の(3)

以下の流れで解答した.1) からを求める 2) 三角関数の加法定理でを求める 3) 正弦定理で外接円の半径を求めるしかし,既に2つの角のコサインが分かっているのだから, 残りひとつもあっという間に出そうなものなのに…. もどかしさが募る.

岩手大学2015農学部第1問を解く

小問集合である. 1. (1) 2次方程式 の2つの解を とするとき, の値を求めよ. (2) 方程式 を解け. (3) △ABCにおいて,∠A,∠Bの大きさをそれぞれで表すとき,,であるとし,さらに辺ABの長さはであるとする.このとき,△ABCの外接円の半径を求めよ.解) …

整数問題

問. を満たす整数の組を求めよ.□解1) について解くとである. 左辺が整数であるから,右辺の分数も整数である. つまりより,を得る. よりである. よって,が求める整数の組である.□解2) 両辺にをかけるととなる. ここでであるから,である. 計算す…

不等式ネタ

数学難問集100から.問. のとき,を示せ.一般に次の不等式が成り立つ.命題.(チェビシェフの不等式) ,とする. このとき,不等式 が成立する.□さらに3をにかえても成立する.(証明) 両辺を3倍し,(右辺)−(左辺)を計算する. マイナスをはさんで…

頻出不等式

不等式が好きなので,よく目にとまる. 次の不等式は頻出の問題である.問. ,,とする.次の不等式を示せ. (1) (2) 解) (1) .(2) ((1)より) ((1)より) (より) .

多項式の積分

多項式の積分は結局,次が分かっていればなんとでもなる. .

床関数(ガウス記号)の覚書

定義.(床関数) を超えない最大の整数 と定義し,この関数を床関数という.□大まかにいうと小数点以下を切り捨てる関数であるといえるが, どこのサイトにも書かれているとおり,負の数に対しては注意が必要である.例. . . . . (←ここが注意)床関…

重複組み合わせ

問. 1から6の数字から重複を許して3個の数字を選ぶ組み合わせは何通りか.□基本的な重複組み合わせである. この問は次のように言い換えられる.問’. を満たす整数の組み合わせは全部で何通りか.□ここでとし,とすることで,次の問題に言い換えられる.問…

有名な不等式

問. 不等式を示せ.□ときおり見かける不等式である. 次の不等式が分かっていればたやすい.補題. が成立する.(証明) .(証明終)補題を使って解いてみよう.(解) (補題を用いた) (補題を用いた) .(終)文字を回して,解決するのは不等式証明…

最大公約数と最小公倍数

定理. とする. をの最大公約数,をの最小公倍数とする. このとき,が成り立つ.□(証明) はの最大公約数であるから,互いに素であるを用いて および と表せる.またはの最小公倍数なので かつ と表せる.つまりで,両辺を で約分するとが成り立つ. とは…