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常微分方程式の基本的な解法(二階線形常微分方程式)

次の常微分方程式を考える. .常微分方程式の講義を受けたことがある方々は即座に, 作用素を用いて からとして求めると思う.ただこの方法だと公式的で,解き方を忘れたらアウト,という心配がつきまとう. また突然の因数分解(二次方程式の解)に面食ら…

常微分方程式の基本的な解法(完全微分形)

常微分方程式 は次の形に書き換えられる. ここでは適宜取り替えてある. 今,ある関数が存在して, を満たすなら,の全微分を用いて と表せることがわかる.つまり,常微分方程式の解は となる.

常微分方程式の基本的な解法(一階線形常微分方程式)の具体例

いくつか具体例を挙げておく. 例. 1..解. 1.まず斉次方程式を解く. 変形して, より, が解である.ただしは積分定数である. ここで定数変化法を用いる. を元の方程式に代入すると, である.よって, となる.従って,解は となる.今後も追加予…

常微分方程式の基本的な解法(一階線形常微分方程式)

次の常微分方程式を考える. (1)ただし,は与えられた関数である. の場合を斉次といい,そうではないときを非斉次という. この常微分方程式を2段階に分けて解く.(解) 1st step:斉次形を解く まず,次の斉次常微分方程式を解くことを考える. この…

常微分方程式の基本的な解法(同次形)

同次形について紹介する. がについて同次式であり, その次数が一致しているとき (1)は,同次形と呼ばれる. ここで同次式の例を挙げておく. 例.はについて3次の同次式である. さて,同次形の常微分方程式を解こう.ここでは次式であるとする. 解く…

常微分方程式の基本的な解法(変数分離形)

解くことができる常微分方程式をいくつか紹介する. まずは,変数分離形の場合である. の形の常微分方程式を変数分離形という. の範囲でを割ると となる.ここで積分変数をに変えて,両辺積分すると, (ただしは積分定数)が得られる.すなわち,(のみの…

常微分方程式の局所解の一意存在定理2

以下では常微分方程式の局所解の一意存在定理の証明をする.(証明)(常微分方程式の局所解の一意存在定理)1st step:同値な方程式 常微分方程式の両辺を上で積分すると, (1) が得られる.逆にがこの積分方程式を満たすなら, の連続性から右辺は級と…

常微分方程式の局所解の一意存在定理1

今回から何回かに分けて, 常微分方程式の局所解の一意存在定理(Cauchy-Lipschitzの定理) を証明する.設定は以下のようである.とする.における有界閉領域を と定める. におけるベクトル値連続関数は と表されるとする. このとき次の常微分方程式を考…