幾何学

2つの円と接線

岩手大学農学部2010年問2より.一部分を抜き出した.命題. 鋭角三角形において,点を通り点で接する円の中心を点とし, 点を通り点で接する円の中心をとする. このとき,∠2∠が成り立つ.(証明) ∠=∠∠∠であるから∠∠=∠を示す. はの二等辺三角形であるから…

円周角の定理の逆

円周角の定理については次のとおりである.定理.(円周角の定理) (i) 同じ弧ABに立つ円周角は一定である.また円周角の2倍は中心角に等しい.□中学校で習う,とてつもなく有名な定理であるが,次のことも成り立つ.(ii) 円の内部の点と弧で作られる角は円…

外接円の問題(2014.12.27)

トレーニングノートβ 数学A 受験研究社 の問題102より. 問. どの直線も互いに平行でない4直線が交わって,4つの三角形ができているとき, それらの外接円はすべて同一の点を通ることを証明せよ.□ 正直に告白するととても苦労した. 何日か前に書いていた…

中点連結定理

中学校で習う定理の中で,平行線と相似の性質が実によくあらわれている定理だと思う.定理.(中点連結定理) 三角形ABCについて,辺ABの中点をM,辺ACの中点をNとする. このときかつが成り立つ.□

三平方の定理の逆

昨日の流れのまま,有名な初等幾何の問題の逆をやりたいと思った. そこで三平方の定理の逆をとりあげることにした.定理.(三平方の定理の逆) 三角形ABCの三辺について等式が成立するならば, 三角形ABCは∠Cの直角三角形である.□(証明) 三角形A'B'C'を…

トレミーの定理

トレミーの定理は逆が成り立つ. とても便利な性質だろう. 証明は(おそらく)四角形の対角の和が2直角ならば円に接する,を用いるのかな….

外接円・内接円・オイラーの定理

このような定理があることを知った.定理.(オイラーの定理) の外心を,内心を,外接円の半径を,内接円の半径をとする.このとき が成り立つ.この定理から即座に次の不等式が導ける.系.(オイラーの不等式) の外接円の半径を,内接円の半径をとする.…

方べきの定理

方べきの定理について,あまり教科書的ではないことを書いておく. 定理.(方べきの定理) 上の図形について以下の等式が成立する. .教科書的な証明は三角形の相似を用いる.(証明) とにおいて, 仮定より円周角の定理を用いると ∽ がわかる. 相似な三…

四角形と面積比

まったくしらない話だったのでメモしておく.三角形の面積比について次の式が成立する. (証明) 角とおく.このとき ここでを用いると が示される. (証明終)