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位相空間論

球体と長方形

ルベーグ積分論とも絡む問題を書いておこう.命題. 開球体は開長方形の可算和の形で表現できる. 逆に開長方形は開球体の可算和の形で表せる.□(証明) 前段を証明する. すべての成分が有理数である任意の点,をとる. とおくと,開長方形はに含まれる. …

開集合の定義

こんなことも忘れているわけで…. 自分が情けなくなってくるので,ここに書いて自戒とする.ここではユークリッド距離である.つまりである.まずにおける開集合は次の流れで定義する. 1.内点 とする.に対して,適当なをとれば が成立するとき,をの内点…

相対位相

位相空間 および写像 が与えられたとする. が連続写像になる最も弱い位相は である.この位相をによってから誘導される位相という.位相空間の部分集合からへの標準的単射によってから誘導される位相をにおける,の相対位相という.相対位相はどのような集…

ハウスドルフ空間のコンパクト集合

定理. ハウスドルフ空間 の部分集合 がコンパクトならば, は の閉集合である.こういう定理を勉強したことも忘れていた. 改めてみるととてもかっこいい定理だと思う. さらにその証明はとても勉強になる.素晴らしい定理だ.