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相加・相乗平均の不等式

大変有名な絶対不等式である.定理.(相加・相乗平均の不等式) を以上の自然数とする.各に対して が成り立つ.また等号が成り立つ条件はのときで,またそのときに限る.□証明については,有名な後ろに跳ねる数学的帰納法を用いたものや, 対数関数が凸関…

相加平均と相乗平均の不等式

命題.(相加平均と相乗平均の不等式) とする.次の不等式が成立する. (1) . (2) .次のように因数分解で証明するのが初等的と思われる.(証明) (1) (右辺)−(左辺).(2) (右辺)−(左辺) . (証明終)この調子で項が4の場合,5の場…

ヤングの不等式

威力のある不等式を紹介し,証明する.命題.(ヤングの不等式) が を満たすとする.に対して が成立する.(証明) 任意のを固定し,と定める. 変数について微分してとなる. よりとなるはである. であり,より関数はにおいてとなる. は任意であったか…