べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

控えめな有理数(滋賀医科大学医学部2016)

「控えめな」という変わった名づけ方なので、これには数学的にそうすべき理由があると思われる。
(2)が大ヒントであって、これがなければ思いつきにくいと思う。
そして問題の全体的な議論は可換環イデアルの問題の初歩に似ているように感じる。

2.
分母が奇数,分子が整数で表せる有理数を「控えめな有理数」と呼ぶことにする。
例えば-\frac{1}{3},2はそれぞれ\frac{-1}{3},\frac{2}{1}と表せるから,ともに控えめな有理数である。
1個以上の控えめな有理数a_1,\ldots ,a_nに対して,集合S \langle a_1, \ldots , a_n \rangleを,
 S \langle a_1, \ldots , a_n \rangle = \{ x_1 a_1 + \cdots + x_n a_n \mid x_1 , \ldots , x_n は控えめな有理数\}
と定める。例えば1は1 \cdot (-\frac{1}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 2と表せるから,S \langle -\frac{1}{3}, 2 \rangleの要素である。
(1) 控えめな有理数a_1,\ldots ,a_nが定める集合S \langle a_1, \ldots , a_n \rangleの要素は控えめな有理数であることを示せ。
(2) 0でない控えめな有理数aが与えられたとき,S \langle a \rangle = S \langle 2^t \rangleとなる0以上の整数tが存在することを示せ。
(3) 控えめな有理数a_1,\ldots ,a_nが与えられたとき,S \langle a_1, \ldots , a_n \rangle = S \langle b \rangleとなる控えめな整数bが存在することを示せ。
(4) 2016が属する集合S \langle a_1, \ldots , a_n \rangleはいくつあるか。ただしa_1,\ldots ,a_n, b_1, \ldots ,b_mは控えめな整数であるとし,a_1,\ldots ,a_nb_1, \ldots ,b_mが異なっていたとしてもS \langle a_1, \ldots , a_n \rangle = S \langle b_1, \ldots , b_m \rangleであれば,S \langle a_1, \ldots , a_n \rangle S \langle b_1, \ldots , b_m \rangleは1つの集合として数える。

(1)
(証明)
2つの分母が奇数の有理数うしの積もまた分母は奇数となるので,2つの控えめな有理数の積はまた控えめな有理数である。
また2つ以上の分母が奇数の有理数の和は分母が奇数となるので,2つ以上の控えめな有理数の和はまた控えめな有理数である。
したがって集合S \langle a_1, \ldots , a_n \rangleの要素は控えめな有理数となる。(証明終)

(2)
(証明)
与えられたaa=\frac{2^t \cdot \alpha}{\beta}\alpha, \betaはある奇数)と表せる。
このtが条件を満たすtであることを証明する。
任意のk \in S \langle a \rangleをとると,ある控えめな有理数xを使いk=xaと表せる。
k=(x \cdot \frac{\alpha}{\beta}) \cdot 2^tx \cdot \frac{\alpha}{\beta}は控えめな有理数であるからk \in  S \langle 2^t \rangleである。
逆に任意のk' \in S \langle 2^t \rangleをとると,ある控えめな有理数x'を使いk'=x' \cdot 2^tと表せる。
ここでk'=x' \cdot \frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{\alpha}{\beta} \cdot 2^t = x' \cdot \frac{\beta}{\alpha} \cdot aで,x' \cdot \frac{\beta}{\alpha}は控えめな有理数であるから k' \in S \langle a \rangleがいえる。
すなわちS \langle a \rangle = S \langle 2^t \rangleであるから,tが条件を満たすことが分かり,存在が示された。(証明終)

(3)
(証明)
a_1, \ldots ,a_nがすべて0であれば,単にb=0と定めればよいので,以下いずれかのa_iは0でないとする。
すべてのa_1,\ldots ,a_nを(2)の証明と同様に分子を素因数分解し,2の指数で最小のものをtと定める。
このときS \langle a_1, \ldots , a_n \rangle = S \langle 2^t \rangleが成り立つことを証明する。
任意のk \in S \langle a_1, \ldots , a_n \rangleをとる。このとき控えめな有理数x_1, \ldots , x_nを用いてk=x_1 a_1 + \cdots + x_n a_nと表せる。ゆえにk \in S \langle 2^t \rangleである。
ここでこれらの項を2^tでくくると,くくった部分は控えめな有理数\frac{\alpha}{\beta}となるから,k=\frac{\alpha}{\beta}\cdot2^tとなる。
また任意のk' \in S \langle 2^t \rangleをとると,控えめな有理数x'を使いk'=x' \cdot 2^tと表せるが,
2^tの定め方からあるa_ia_i = \frac{2^t \cdot \alpha_i}{\beta_i}\alpha_i, \beta_iはある奇数)と表示できるものが存在する。
これを使えばk' = x' \cdot 2^t = x' \cdot \frac{\beta_i}{\alpha_i} \cdot \frac{\alpha_i}{\beta_i} \cdot 2^t= x' \cdot \frac{\beta_i}{\alpha_i} \cdot a_i となる。
x' \cdot \frac{\beta_i}{\alpha_i}は控えめな有理数であるからk' \in S \langle a_1, \ldots , a_n \rangleが示される。
以上よりS \langle a_1, \ldots , a_n \rangle = S \langle 2^t \rangleが成り立つことが示された。(証明終)

(4)
(3)までの議論でS \langle a_1, \ldots , a_n \rangleの表示はS \langle 1 \rangle, S \langle 2 \rangle,S \langle 2^2 \rangle, \ldots , S \langle 2^t \rangle , \ldotsのものに限って考えれば十分であることが分かる。
2016=2^5 \times 3^2 \times 7であるから,2016 \in S \langle 2^t \rangle (t=0,1,2,3,4,5)および2016 \not\in S \langle 2^t \rangle  ( t \geq 6)となる。
したがって2016が属する集合S \langle a_1, \ldots , a_n \rangleは全部で6個存在する。

(追記17.6.25)(3)でa_iがすべて0の場合を書いていなかったので1行追加した。

最小公倍数を求める方法

l={\rm lcm}(a,b),g={\rm gcd}(a,b)とする.

定理.
ab=lgが成立する.

(証明)
a=ga',b=gb'a',b'は互い素)とする.
このときab'=a'b=ga'b'であるからl=ga'b'となる.
よってlg=ga'gb'=abとなる.(証明終)

この定理を眺めると,最小公倍数を求める手順に次のようなものがあることに気がつく.
1.ユークリッドの互除法gを求める.
2.a,bgで割り,2つの商とgの積が最小公倍数である.

やはり例のとおり素因数分解して素因数を見比べるほうが早い気がする.
その方法も一応書いておく.以下p_i素数とする.
a={p_1}^{e_1} \cdots {p_n}^{e_n},b={p_1}^{f_1} \cdots {p_n}^{f_n}素因数分解する.
このときl={p_1}^{\max \{ e_1, f_1 \} } \cdots {p_n}^{ \max \{ e_n, f_n \} }である.

例えば600, 90の最小公倍数は600 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2, 90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5より
冪の大きい数をとることで2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 1800が分かる.

ユークリッドの互除法について

a,bの最大公約数を{\rm gcd}(a,b)と表す.

定理.(ユークリッドの互除法
a, b(a \geq b)を整数として,abで割った余りをrとする.
このとき,{\rm gcd}(a,b)={\rm gcd}(b,r)

教科書の証明はなんだか文章ばかりで難しかった覚えがある.
今ならできるだろうか…?

(証明)
abで割った商をqとするとa=bq+rと表せる.
右辺をみるとb,rの公約数はaの約数となっており,
a,bの公約数になっていることがわかる.
またr=a-bqと変形するとa,bの公約数はrの約数となっており,
b,rの公約数になっていることがわかる.
つまりa,bの公約数の集合とb,rの公約数の集合は等しいので,
最大公約数は等しい.(証明終)

あっさり解決できた.少しくらいは簡単な整数論が身についているようだ.
このユークリッドの互除法は使いかたが問題である.

例えば73, 17の最大公約数を求める場合は,「どんどんスライドさせて割っていく」のである.
73=17 \times 4 + 5(割り算の原理)
17=5 \times 3 + 2 (割る数と余りで割り算する.以下繰り返す.)
5=2 \times 2 + 1
2=2 \times 1(割り切れたら終了)
よって最大公約数は1である.

ひとまずユークリッドの互除法の使いかたはいいだろう.
ところで上の証明を見ると,結局は次の問題に帰着される.

問.
{\rm gcd}(a,b)={\rm gcd}(a-b,b)を示せ.

証明はa=(a-b)+bとすれば,上の証明となんら変わらない議論で示せる.
これがいわゆる,ユークリッドの互除法の原理と呼ばれるものである.

二次形式って何ですか?

正直に告白すると、二次形式というものを勉強したことがない。
使ったことが全くない。

Wikipediaによれば、二次形式は多方面で中心的な地位を占めるもののようだ…。
全く知らない。

いままで中心を回避して勉強していたということなのだろうか。
まるで複素積分のようである。

カップル成立の確率

安田亨先生の伝説の良問100を読んでいたら,次の問題があった。

問.
男性が2人,女性が2人いる。各々は自分の異性をでたらめに1人指名する。
互いに相手を指名すればカップルが成立するものとして,
ちょうど1組カップルが成立する確率を求めよ。

n人まで一般化する方法も書いてあり,包除原理で計算している。

微分と積分の交換可能の条件

ルベーグの優収束定理を用いて,微分積分の交換可能の条件を求める.

定理
\mathbb{R}^2 上の関数fが次の条件を満たすとする.
1) 各xに対してf(x,y)y積分可能である.
2) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}は存在し,ある1変数関数g \in L^1\displaystyle |\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)| \leq g(y)となるものが存在する.
このとき\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \int_\mathbb{R} f(x,y)dm(y) = \int_\mathbb{R} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)dm(y)が成立する.

ルベーグ積分の収束定理(ルベーグの優収束定理)

定理(ルベーグの優収束定理)
関数列\{ f_j \}_{j=1}^\infty は次の条件を満たすとする.
1) f_j \to f a.e.
2) あるg \in L^1ですべてのjに対して|f_j| \leq g a.e.を満たすものが存在する.
このとき\displaystyle \lim_{j \to \infty} \int f_j dm = \int \lim_{j \to \infty} f_j dm = \int f dmが成立する.

注意
1) 関数列にL^1の条件を課す必要はない.
2) \lim積分との交換がこのような単純な条件でできることが,ルベーグ積分が優れている点のひとつである.

(証明)
|f_j| \leq g a.e
より
-g \leq f_j \leq g a.e.
であるから
0 \leq g+ f_j \leq 2g, 0 \leq g -f_j \leq 2g a.e.
ファトゥの補題から
\displaystyle \int \liminf_{j \to \infty} ( g+ f_j )dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int (g +f_j)dm
より
\displaystyle \int (g+f) dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int (g +f_j)dm
から
\displaystyle \int f dm \leq  \liminf_{j \to \infty} \int f_j dm
である.また
\displaystyle  \int \liminf_{j \to \infty} ( g-f_j )dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int (g -f_j)dm
より
\displaystyle \int (g-f) dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int (g - f_j)dm
から
\displaystyle \int (-f) dm \leq \liminf_{j \to \infty} \int (- f_j)dm
となるので
\displaystyle \int f dm \geq \limsup_{j \to \infty} \int f_jdm
である.つまり
\displaystyle \limsup_{j \to \infty} \int f_jdm \leq \int f dm \leq  \liminf_{j \to \infty} \int f_j dm
でこれは\displaystyle \lim_{j \to \infty} \int f_j dm = \int f dmを意味する.(証明終)

系(有界収束定理)
m(E) < \inftyで,関数列\{ f_j \}_{j=1}^\inftyは次の条件を満たすとする.
1) \{ f_j \}_{j=1}^\inftyEで概収束する.
2) あるM \in \mathbb{R}ですべてのjに対して|f_j| \leq M a.e. となるものが存在する.
このとき\displaystyle \lim_{j \to \infty} \int_E f_j dm = \int_E \lim_{j \to \infty} f_j dmが成り立つ.