2016-12-20

素元と既約元

数学

何度考えても混乱するのでまとめてみる．
こういうところで書いておけば少しは頭に入るだろう．

$R$ を可換環とする．
$p \in R$ が素元とは $p|ab$ ならば $p|a$ または $p|b$ が成り立つことを言う．
$m \in R$ が既約元とは $m=ab$ ならば $a$ または $b$ のいずれか一方が単元であることを言う．
単元とは逆元をもつ元のことを言う．

素元という言葉から，素数を連想すると思う．
中学校で素数を習う際には，上記の既約元の形で定義するが，素元の定義と必要十分条件なので問題ない．
このことを証明していこう．

可換環 $R$ について， $a, b \in R$ に対し
$ab=0$ ならば $a=0$ または $b=0$ が成り立つとき， $R$ を整域という．

整域はつまり零因子が存在しない，ということである．
通常の整数の集合や有理数の集合は整域である．
行列は零因子があるので，そのままでは整域にはならないことが分かる．

以下 $R$ は整域とする．

まず整数の話に限らず「素元ならば既約元」を証明する．
（証明）
$p$ を素元とし， $p=ab$ であるとする．
左辺が $p$ の倍数ゆえ右辺も $p$ の倍数である．
素元の定義から $p|ab$ ならば $p|a$ または $p|b$ が成り立つ．
$p|a$ であると仮定すると， $a=pa'$ となる $a' \in R$ がとれる．
元の式に代入すると $p=pa'b$ であるが移行して $p$ でくくると $p(a'b-1)=0$ となる．
$R$ は整域で $p \not= 0$ から $a'b-1=0$ ，つまり $a'b=1$ である．
これは $b$ が単元であることを意味する．
$p|b$ の場合も全く同様の議論で証明できる．（証明終）

逆はじつは簡単ではない．
イデアルを導入しなければならないからだ．
そして素・極大それぞれのイデアルの概念を説明する．
さらに整数全体で作られる環は単項イデアル整域だということをいう．
こうすれば次の流れで証明できる．
（証明の概略）
既約元が生成するイデアルは極大イデアルである．
元の整数環を極大イデアルで割ると体となる．
体は整域である．
整数環を割って聖域となるイデアルは素イデアルである．
素イデアルを生成するのは素元である．（証明の概略終）
一行目にPID（単項イデアル整域）であることを，
環を割るとは同値類の環を考えることを，
割ると整域や体となることはそれぞれ証明が必要である。

2016-12-19

双曲線関数，再び

数学

双曲線関数 - アクセス不能の原因。
ここでも書いたとおり，大学１年のころに $\sinh x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}),\cosh x =\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$ を学んだ．
こんなものがあるのか，と思いながらいまいち使う機会もなくぼんやりと覚えるにとどまった．

最近，円の方程式 $x^2+y^2=1$ から $x=\cos \theta, y=\sin \theta$ を定める話の類似で，
双曲線の方程式 $x^2-y^2=1$ から $x=\cosh \theta,y=\sinh \theta$ と定めることを知った．
これならおそらく死ぬまで忘れないだろう。

2016-12-18

数学の記事の定理などに証明を埋め込む

日記

数学の記事を書くのは面白いのだが、困っていたのは証明である。
数学は証明が絶対必要だが、記事として読むときには少しわずらわしさを感じることがある。
大まかに概要をつかみたいときには証明はとにかく脇に置いておきたいときもある。

今まではそういうときには別の記事に分離していたのだが、
ふとYouTubeを見ていたときに「もっと見る」の存在に気がついた。
こうして文章の表示非表示が自由に切り替えられるのなら、使わない手はないだろう。

色々調べた結果
HTML表示/非表示切り替えブロック；divとボタン: 万象酔歩
こちらのサイトの記事を使わせていただくことにした。

早速
測度であることの証明 - アクセス不能の原因。
の最初の補題で実験してみた。
昔ながらのボタンではあるが、なかなかいい。
ただし変なところがあって、はてなブログの特性で自動的に改行のタグが放り込まれる。
そうならないようにタグ上ではいくつかの場所の改行をなくしておく必要があった。

ところで今回参考にさせていただいたサイト様にトラックバックをしたかったのだが、
このはてなブログってトラックバックの機能がないようである。
なんという不親切さか…！

2016-09-02

岩手大学2016農学部第2問を解く

数学岩手大学

前回から大幅に開いてしまった…．忙しかったのだ．
問題ももちろん忘れていたので結局解きなおした．
典型的な平面の幾何ベクトルである．
空間の幾何ベクトルが出なかったことに驚きを隠せない．
なんだろう，空間の幾何ベクトルの問題だと正答率が下がるからだろうか？

2．
平行四辺形ABCDにおいて $\overrightarrow{AB}=\vec{a}, \overrightarrow{AD}=\vec{b}$ とおき，
　 $|\vec{a}|=4, |\vec{b}|=5, |\overrightarrow{AC}|=6$
であるとする．また，辺BCを $1:4$ に内分する点をE，辺ABを $s:(1-s)$ に
内分する点をFとし（ただし， $0 < s < 1$ )，線分AEと線分DFの交点をPとするとき，
次の問いに答えよ．
(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ．
$\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}$ なので $|\vec{a}+\vec{b}|=|\overrightarrow{AC}|=6$ である．
両辺2乗すると，
　 $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 36$
　 $|\vec{a}|^2 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 36$
$|\vec{a}|=4, |\vec{b}|=5$ であるから
　 $16 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + 25 = 36$
よって， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{5}{2}$ である．
(2) $\overrightarrow{AP}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ および $s$ で表せ．
$BE : EC = 1 : 4$ であるから $\overrightarrow{BE} = \frac{1}{5}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{5}\vec{b}$ となる．
つまり， $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\vec{a}+\frac{1}{5}\vec{b}$ である．
点Pが線分AE上に存在するから $\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AE}=k\vec{a}+\frac{1}{5}k\vec{b}$ …(!)（ $k$ は実数）と表せる．
また， $AF : FB = s : (1-s)$ であるから， $\overrightarrow{AF}=s \vec{a}$ となる．
ここで点Pが線分DF上に存在するから， $\overrightarrow{AE}=(1-t)\overrightarrow{AF}+t\overrightarrow{AD}$ …(!!)（ $0 < t < 1$ ）と表せる．
$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なベクトルであるから，係数比較可能で(!)と(!!)から連立方程式を解くことで $k=\frac{5s}{5+s}$ を得る．
以上から $\overrightarrow{AE}=\frac{5s}{5+s}\vec{a}+\frac{s}{5+s}\vec{b}$ が得られる．

（以下工事中）

2016-05-01

岩手大学2016農学部第1問を解く

数学岩手大学

小問集合である．
昨年度同様，受験者を惑わせる，無駄に大きくどうでもいい数値設定である．

１．
(1) 2次関数 $y = x^2 -2ax + a + 2$ の最小値が負であるような定数 $a$ の範囲を求めよ．
解）
与えられた関数を平方完成すると $y = (x - a)^2 - a^2 + a + 2$ である．
頂点の座標は $(a, -a^2+a+2)$ なので， $x=a$ のとき最小値 $-a^2+a+2$ である．
この値が負であるとは $-a^2+a+2 < 0$ のことで，この不等式を解くと $a < -1 , 2 < a$ を得る．

(2) AチームとBチームがサッカーの試合を7回行う．
どの試合でも，Aチームが勝つ確率は $\frac{1}{2}$ ，Bチームが勝つ確率は $\frac{1}{6}$ ，
引き分けとなる確率は $\frac{1}{3}$ であるとして，Aチームの試合結果が3勝2敗2引き分けとなる確率を求めよ．
解）
3勝2敗2引き分けとなる試合結果が何通りあるか計算する．
勝ちを○，負けを●，引き分けを△で表すと，○を3個，●を2個，△を2個並べる組み合わせに等しい．
これは ${}_7 C_3 \times {}_4 C_2 \times {}_2 C_2 = 210$ 通りある．
1つの組み合わせに対して，3勝2敗2引き分けとなる確率は $(\frac{1}{3})^3 \times (\frac{1}{6})^2 \times (\frac{1}{3})^2$ である．
求める確率は $210 \times (\frac{1}{3})^3 \times (\frac{1}{6})^2 \times (\frac{1}{3})^2 = \frac{35}{432}$ である．

(3) 四面体OABCにおいて，
　 $BC=30, CA=26, \cos \angle BAC = \frac{5}{13},OA=18, \angle OAB = \angle OAC = 90^\circ$
であるとき，辺ABの長さ及び四面体OABCの体積を求めよ．
解）
△OABに対して余弦定理を用いる．
$AB^2 +26^2 -2 \times 26 \times AB = 30^2$
$AB^2 -52 AB -224 = 0$
$(AB-56)(AB+4)=0$
$AB > 0$ より $AB = 56$ ．
また $\sin^2 \angle BAC + \cos^2 \angle BAC = 1$ より $\sin^2 \angle BAC = \frac{144}{169}$ ．
つまり $\sin \angle BAC = \frac{12}{13}$ である．
これより△ABC $= \frac{1}{2} AB \times AC \times \sin \angle BAC = 672$ となる．
仮定より四面体OABCにおいて $\angle OAB = \angle OAC = 90^\circ$ であるから，底面積を△ABCと見ると高さはOAである．
よって四面体OABC $=\frac{1}{3} \times 672 \times OA = \frac{1}{3} \times 672 \times 18 = 4032$ ．

2016-02-20

多項式の既約判定について

数学

$R$ を可換環とする．
多項式が $R [ x ]$ 上既約であるとは，単元でなく，積の形で書いたときに少なくともどちらか一方は単元であることを意味する．
つまり
1) $f \notin R^{\times}$
2) $f=gh$ ならば $g \in R^{\times}$ または $h \in R^{\times}$
からなる2条件を満たすときを言う．そうでないときは可約という．

中学校や高校の段階では因数分解できるかどうか，という話題である．
つまりなんらかの元を代入して $0$ になればそれは可約である．（因数定理）
一般に与えられた多項式が既約かどうか見分けるのは難しい．
代入の話で言えば，どのような元が多項式の根になっているか見るだけでは分からないからである．
ただし整数係数多項式の既約判定には，アイゼンシュタインの既約判定法がよい．

定理．（アイゼンシュタインの既約判定法）
$\mathbb{Z}$ 係数多項式 $f(x)=a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0}$ の係数について，
次の3条件を満たすある素数 $p$ が存在するとき，多項式 $f(x)$ は既約多項式である．
1) $p \nmid a_{n}$
2) $p | a_{i} (i=0, \ldots , n-1)$
3) $p^{2} \nmid a_{0}$ 　□

もうひとつ．平行移動をかけてもその既約性は変わらない．

命題．
多項式 $f(x)$ が既約 $\Leftrightarrow$ $a \in R$ に対して $f(x+a)$ が既約　□

具体例を挙げて確認しよう．

例．
多項式 $f(x)=x^3 - 2$ は $\mathbb{Z} [ x ]$ の既約多項式である．

解）
素数 $p=2$ について，アイゼンシュタインの既約判定法を適用すればよい．

例．
多項式 $f(x) = 4x^3 - 3x - \frac{1}{2}$ は $\mathbb{Q} [ x ]$ 上既約である．

解）
すこしばかり変形をする．両辺に2をかける．
　 $2f(x) = 8x^3 - 6x -1$
ここで
　 $2f(\frac{x+1}{2})$
　 $= 8 (\frac{x+1}{2})^3 -6 (\frac{x+1}{2}) -1$
　 $= x^3 + 3x^2 + 3x + 1 -3x -3 -1$
　 $=x^3 + 3x^2 - 3$
であるから素数 $p=3$ について，アイゼンシュタインの既約判定法を適用すればよい．

上にあげた2つの多項式は「立方体倍積問題」と「角の3等分問題」に関わっている．

2016-01-27

well-definedでない例

数学

well-definedであることをよくわかるには，そうでない例を作るのがいいのではないか．

例
$f:\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ を $f( [ a ])=a$ と決めてみる．
一見よさそうである．
しかし $[ 0 ] = [ 2 ]$ であるが， $f( [ 0 ] )=0,f([ 2 ] )=2$ であるから像が一致しないので写像でない．