対角化の計算をするときに,固有ベクトルをとって行列を作るわけだが,
次のことが気になっていた。
命題.
は零行列ではないn次正方行列とする。
ならばである。
(証明)
背理法。と仮定する。
を右乗すると,左辺はからとなり矛盾する。(証明終)
この零行列の部分を単位行列に変えた命題も全く同じように示される。
(20.5.20)
完全なる嘘の証明である.反例が存在する.
とおくと,だがである.
この問はどうするか。
1)
級数ではないが,和の問題なので考えてみる。
解)
as .
このように一部が和の公式が使えるときは使うとよい。
2)
有名な部分分数分解を使うときである。
解)
までの和は部分分数分解を使うと次のとおりである。
(先頭と最後以外は前後で打ち消しあう)
as .
前回
orz107orz.hatenablog.com
を受けて,実際の問題で公式を使ってみよう。
1)
初項が,公比がの無限等比級数である。
公比の絶対値が1より小さいので,公式が使える。
.
2)
かの有名な問題である。この・・・が曲者だ。
この・・・は何かを省略したものではない。別の解釈をする。
その解釈とは何かというと,級数だととらえるのが普通だと筆者は考えている。
つまり,と考える。
そういうわけで,右辺に公式を使うとであるから,である。
あまり一般的ではない証明をつける。
定理.(トレミーの定理)
円周上の4点に対して,が成立する.
(証明)
図に対して以下のように角度を定める.
四角形の対角線とそのなす角は下の図のように,三角形の外角からである.
よって四角形…(1)である.
次に三角形ACDに着目する.下の図のように三角形ABDを裏返す.
このとき四角形△+△であるが,
△+△
である.かつより
四角形…(2)を得る.
以上(1) ,(2)よりが成立することが示された.
(証明終)
いくつかの級数の問題は取り扱ってきたものの,初歩の問題はなぜかやらずにきた。面倒だったのかもしれない。
今回はそのような問題たちを扱う。
ところで級数とは何か,という話を初めにしなければならないだろう。
級数(無限級数)とは,無限項の数列の和のことである。
すなわち,数列に対してのことである。
ここではたと困ることがある。
人間は無限項の足し算などできるはずがないということである。当たり前のことだが大問題といえるだろう。
どうやって無限の足し算をすればいいのだろうか。
解決する手段はこうである。
まずととりあえず第項までの和をつくる。
次にこののを限りなく大きくする。つまりとするのである。
このときが存在する場合に限り,その極限を無限項の和と解釈するのである。
無限に足さずに極限の解釈をすることで,議論をすりかえている。うまい方法だ。
逆にいえばこの手順で無限項の和を求めればよい,ということになる。
色々なパターンの問題を取り扱っていく。
1/6公式はよく知られている.
少し変えて,はどうだろうか.
これはこのようになる.
.
右辺のはまとめられることが多いのだが,こうしておくと符号がどうなるかわかる.
つまり被積分関数にを代入した際の符号に依存するということであって,
この書き方であれば直接的に出てくる.
また係数部分もよく階乗で書かれているが,こうして組み合わせの記号で書いておくと覚えやすいのではなかろうか.
具体例を挙げておこう.
例.
を求めよ.
解.
係数を計算する.
の次数を見ると3次なのでである.
これより
である.