2016-01-18

級数の問題を解く（等比級数の具体的な計算）

数学

前回
orz107orz.hatenablog.com
を受けて，実際の問題で公式を使ってみよう。

１） $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots + (\frac{1}{2})^n + \cdots$
初項が $\frac{1}{2}$ ，公比が $\frac{1}{2}$ の無限等比級数である。
公比の絶対値が1より小さいので，公式が使える。
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots + (\frac{1}{2})^n + \cdots = \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$ ．

２） $0.999\cdots$
かの有名な問題である。この・・・が曲者だ。
この・・・は何かを省略したものではない。別の解釈をする。
その解釈とは何かというと，級数だととらえるのが普通だと筆者は考えている。
つまり， $0.999 \cdots = 9 \cdot \frac{1}{10} + 9 \cdot (\frac{1}{10})^2 + 9 \cdot (\frac{1}{10})^3 + \cdots$ と考える。
そういうわけで，右辺に公式を使うと $\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=1$ であるから， $0.999 \cdots = 1$ である。

2016-01-17

級数の問題を解く（等比級数）

数学

今回は等比級数の一般論を扱う。つまり
$a+ar+ar^2+ar^3+\cdots$
の形をしているものである。 $a=0$ や $r=1$ はつまらないので除外することにする。

級数の定義によって収束発散を議論しよう。
$S_n=a+ar+ar^2+ \cdots +ar^{n-1}$
とおき，ひとまずこの和を計算する。等比数列の和の公式で $S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$ となる。
$n \to \infty$ の極限をとるが， $n$ は分子の $r^n$ にのみ存在するのでここだけが問題である。
１） $r>1$ の場合
$s>0$ を用いて $r=1+s$ と表せる。ここで $r^n=(1+s)^n=1+ns+\cdots+s^n$ から $r^n>1+ns$ を得る。
$n$ を限りなく大きくすると $1+ns$ は正の無限大に発散するので， $r^n$ も正の無限大に発散する。
つまり $S_n$ も発散するので，級数の定義から値は存在しない。
同様の議論で $r \leq -1$ の場合も級数の値は存在しない。
２） $|r|<1$ の場合
アルキメデスの原理より $r^n \to 0$ as $n \to \infty$ ．
つまり $S_n \to \frac{a}{1-r}$ as $n \to \infty$ である。

以上の議論で $|r|<1$ の場合， $a+ar+ar^2+\cdots = \frac{a}{1-r}$ が分かった。

2016-01-16

トレミーの定理の証明

数学幾何学

あまり一般的ではない証明をつける。

定理．（トレミーの定理）
円周上の４点 $A,B,C,D$ に対して， $AB \cdot CD + BC \cdot DA = AC \cdot BD$ が成立する．

（証明）
f:id:orz107orz:20171218000216p:plain:w300
図に対して以下のように角度を定める．
f:id:orz107orz:20171218001311p:plain:w300
四角形の対角線とそのなす角は下の図のように，三角形の外角から $\alpha + \beta$ である．
f:id:orz107orz:20171218001315p:plain:w300
よって四角形 $ABCD=\frac{1}{2}AC \cdot BD \cdot \sin(\alpha + \beta)$ …(1)である．
次に三角形ACDに着目する．下の図のように三角形ABDを裏返す．
f:id:orz107orz:20171218002341p:plain:w300
このとき四角形 $ABCD=$ △ $ABD'$ ＋△ $CBD'$ であるが，
△ $ABD'$ ＋△ $CBD'=\frac{1}{2}AB \cdot AD' \cdot \sin (\gamma + \delta)+\frac{1}{2}BC \cdot CD' \cdot \sin(\alpha + \beta)$
である． $\gamma + \delta = 180^\circ - (\alpha + \beta)$ かつ $AD'=CD, CD' = DA$ より
四角形 $ABCD=\frac{1}{2}AB \cdot CD \cdot \sin (\alpha + \beta)+\frac{1}{2}BC \cdot DA \cdot \sin(\alpha + \beta)$ …(2)を得る．
以上(1) ，(2)より $AB \cdot CD + BC \cdot DA = AC \cdot BD$ が成立することが示された．
（証明終）

2016-01-15

級数の問題を解く（導入）

数学

いくつかの級数の問題は取り扱ってきたものの，初歩の問題はなぜかやらずにきた。面倒だったのかもしれない。
今回はそのような問題たちを扱う。

ところで級数とは何か，という話を初めにしなければならないだろう。
級数（無限級数）とは，無限項の数列の和のことである。
すなわち，数列 $\{ a_n \}_{n=1}^\infty$ に対して $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ のことである。

ここではたと困ることがある。
人間は無限項の足し算などできるはずがないということである。当たり前のことだが大問題といえるだろう。
どうやって無限の足し算をすればいいのだろうか。

解決する手段はこうである。
まず $n=1, 2, \ldots ,m$ ととりあえず第 $m$ 項までの和をつくる。 $\displaystyle S_m=\sum_{n=1}^m a_n$
次にこの $S_m$ の $m$ を限りなく大きくする。つまり $m \to \infty$ とするのである。
このとき $\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_m = \lim_{m \to \infty}\sum_{n=1}^m a_n$ が存在する場合に限り，その極限を無限項の和と解釈するのである。
無限に足さずに極限の解釈をすることで，議論をすりかえている。うまい方法だ。

逆にいえばこの手順で無限項の和を求めればよい，ということになる。
色々なパターンの問題を取り扱っていく。

2016-01-14

1/6公式からの発展

数学

1/6公式 $\int_a^b (x-a)(x-b) dx=-\frac{1}{6} (b-a)^3$ はよく知られている．

少し変えて， $\int_a^b (x-a)^m(x-b)^n dx$ はどうだろうか．
これはこのようになる．
$\displaystyle \int_a^b (x-a)^m(x-b)^n dx=\frac{1}{(m+n+1) {}_{m+n}{\rm C}_{m}} (b-a)^{m+1} (a-b)^n$ ．

右辺の $b-a$ はまとめられることが多いのだが，こうしておくと符号がどうなるかわかる．
つまり被積分関数に $x=a,b$ を代入した際の符号に依存するということであって，
この書き方であれば直接的に出てくる．
また係数部分もよく階乗で書かれているが，こうして組み合わせの記号で書いておくと覚えやすいのではなかろうか．
具体例を挙げておこう．

例．
$\int_a^b(x-a)(x-b)^2dx$ を求めよ．

解．
係数を計算する．
$(x-a)(x-b)^2$ の次数を見ると3次なので $(3+1) \cdot {}_3 {\rm C}_1=4 \cdot 3=12$ である．
これより
$\int_a^b(x-a)(x-b)^2dx=\frac{1}{12}(b-a)^{1+1}(a-b)^2=\frac{1}{12}(b-a)^4$
である．