2016-01-13

食塩水の問題

数学

小・中学校のとき，食塩水の問題が苦手だった．
１０％の食塩水３３０ｇとかいわれて，このパーセントって何だ？となっていたからだ。

「男女２５０人のうち３０％が男子である。」という話題と変わらないのだが…。

2016-01-12

加法定理も大事だけれど

数学

この余角・補角の公式も大事だ。

余角の公式
$\sin (90^\circ - x)=\cos x$
$\cos (90^\circ - x)=\sin x$

補角の公式
$\sin(180^\circ - x)=\sin x$
$\cos(180^\circ - x)=-\cos x$

あとこれも。 $-x$ の公式
$\sin (-x)=-\sin x$
$\cos (-x) = \cos x$

ところでどうして $90^\circ - x$ を余角というのだろう。
それをいえば補角もだけど…。

2016-01-11

等差数列の基礎

数学

マニアックな数列ばかり取り扱って、基本的な数列をやっていなかった。

このような数列を考える。
　5, 8, 11, 14, …
はじめの数に３ずつ足して作られる数列である。
同じ数を足している、ということは隣あったものどうしは差が一定ということである。
つまり $8-5=3, 11-8=3, 14-11=3, \ldots$ である。
隣り合ったものどうしの差が一定の数列を等差数列という。
はじめの数を初項、一定の差を公差、n番目を第n項という。

2016-01-10

並べ替えの不等式

数学不等式

orz107orz.hatenablog.com
この記事の意味がさっぱり分からない。
一体なにをしようとしていたのか…？今となってはもう解明できない気がする。

この記事で述べられている、並べ替えの不等式はこのことだろうか。
３個のバージョンを書いておく。
実数 $a_1>a_2>a_3$ および $b_1>b_2>b_3$ において、 $b_1,b_2,b_3$ を任意に並べ替えたものを $c_1,c_2,c_3$ とする。
このとき次の並べ替えの不等式が成立する。
$a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \geq a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3 \geq a_1 b_3 + a_2 b_2 + a_3 b_1$ ．

2016-01-09

複素積分の値が媒介変数による例

数学

前回の記事のつづき。
端点だけでは積分の値を１つに定められない例を挙げる。
つまり関数として正則でないものを挙げればよい。

例．関数 $f(z)=\bar{z}$ について考える。
端点を $-1$ と $1$ とし、複素積分を考える。
1) 積分路 $C_1$ を実軸に沿って考えた場合
パラメータは $z(t)=t$ （ $-1 \leq t \leq 1$ ）ととる。
$\int_{C_1}\bar{z}dz = \int_{-1}^1 t \cdot (t)' dt =\int_{-1}^1 t dt = 0$ ．（奇関数の性質）
2) 積分路 $C_2$ を半円として考えた場合
パラメータは $z(t)=e^{it}$ （ $\pi \leq t \leq 0$ ）ととる。
$\int_{C_2}\bar{z}dz = \int_{\pi}^0 \overline{e^{it}} (e^{it})' dt =\int_\pi^0 e^{-it} i e^{it} dt = \int_\pi^0 i dt=-\pi i$ ．

2016-01-08

コーシーの積分定理の気持ちを自分なりにかいてみる

orz107orz.hatenablog.com
コーシーの積分定理の主張はここでかいた。
驚異的な定理と書いたが、この定理の気持ちを自分なりに書いてみる。

高校のころに学ぶ、実軸上の１変数関数の積分を思い出そう。
簡単のため閉区間 $I= [ a, b ]$ 上で $f >0$ である関数の積分 $\int_a^b f(x) dx$ を考える。
これは関数 $f$ 、２直線 $x=a, x=b$ 、実軸の４曲線で囲まれた部分の面積であって、
様々な要素がからんでいて面積など求められないと思うはず。
しかし $F'=f$ である関数が存在すれば、面積は $\int_a^b f(x) dx=F(b) - F(a)$ で求められる。
驚きは $x$ は両端の値だけがこの量に関与しているわけで、途中の値は見なくてよいことである。

複素関数に戻る。
複素積分 $\int_C f(z)dz$ は次のような線積分で定義される。
$C$ は積分路で複素平面上の有限で滑らかな路であるとする。
$C$ の両端は複素数である。例えば $\alpha, \beta$ がその両端とする。
媒介変数表示して $C : z=z(t), a \leq t \leq b$ とし $\int_C f(z)dz=\int_a^b f(z(t))z'(t)dt$ と定義する。
さらりと媒介変数 $z=z(t)$ を持ち出したが、右辺が $z=z(t)$ のとり方に依存している。実際、その取り方を変えると積分の値がまるで変わってしまうものもある。
しかし上でやったように１変数の積分を思い出せば、どのように $z=z(t)$ をとっても積分の値が変わって欲しくない。
ここでもし、「 $F'=f$ となる関数」があれば「合成関数の積分」であるわけだから、形式的には $\int_a^b f(z(t))z'(t)dt=[ F(z(t)) ]_a^b=F(z(b))-F(z(a))=F(\beta)-F(\alpha)$ となり、うまくいきそうである。

この $F'$ の $'$ はなんだろうか。
実軸上の１変数関数ではないので、上記の微分とはわけが違う。

これは複素微分の意味での微分であって、それこそ正則ということである。
つまり正則であれば、両端の値のみで積分の値が決まると考えられる。
そのとき閉曲線は、両端が一致しているわけであるから積分値は０と想像できるわけだ。

ちなみにこの想像は正しく、 $f$ が正則であればどのように媒介変数をとっても積分値は一定である。
それを保証する定理こそがコーシーの積分定理である。

2016-01-07

条件付き確率の有名な問題とその計算

ネット上でも有名なアレである。

問．（隣の家の子どもの性別）
1) 隣の家に家族が越してきた。子どもが２人おり、１人は男であるという。２人とも男である確率を求めよ。
2) 隣の家に家族が越してきた。子どもが２人おり、そのうちの１人の男の子どもが外で遊んでいるのを見た。もう１人が男である確率を求めよ。

解．
1) きょうだいのうち、年上が男であるという事象を $A$ 、年下が男であるという事象を $B$ とする。
このとき $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$ であり、 $P(A \cap B)=P(A) \times P(B)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ である。
いずれかが男である確率は $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\frac{3}{4}$ である。
いずれかが男であったとき、いずれも男である条件付き確率は $P_{A \cup B}(A \cap B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A \cup B)}=\frac{1/4}{3/4}=\frac{1}{3}$ 。