2016-01-03

n進数の初歩の初歩の初歩

数学

正直に言うと、この話はそこまで詳しくない。
高校レベルくらいまでのことしか知らない。
そんな初歩の話を書いてみる試みだ。

その１．普段の数
日常生活で使う数は31や1200と書かれる。
31は小学校以来「さんいち」ではなく「さんじゅういち」、1200は「いちにぜろぜろ」でなく「せんにひゃく」と読む。
これは「31=十の位に3＋一の位に1」とか「1200=千の位に1＋百の位に2＋十の位に0＋一の位に0」という意味だ。

ところで各位は10を使って、一 $=10^0$ 、十 $=10^1$ 、百 $=10^2$ 、千 $=10^3$ …と解釈できることから、 $31=3 \times 10^1 + 1 \times 10^0$ であり、
$1200=1 \times 10^3 +2 \times 10^2 + 0 \times 10^1 +0 \times 10^0$ と見ることができる。
このように位の単位を10にする書き方を十進数（じっしんすう、じゅっしんすう）という。

つまり普通の数は、十進数である。

その２．位の単位を変えると…
$1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0$ という数を考えよう。
普通の数（＝十進数）と見れば、計算することで９と分かる。
これを位の単位が２の数であると見ると、１００１（「いちぜろぜろいち」と発音する）という数と考えることができる。
位の単位が２の数を二進数（にしんすう）という。

本当は二進数なのに何もせずに１００１と書くと「せんいち」と間違えられるので，
右下に小さく（２）と書く。つまり $9_{(10)}=1001_{(2)}$ である。

2016-01-02

曲線の長さを極座標で

数学

曲線が $x=x(t),y=y(t)$ （ $a \leq t \leq b$ ）と表されているとき，その曲線の長さ $L$ は
　 $\displaystyle L=\int_a^b \sqrt{(\frac{dx }{dt}(t))^2+(\frac{dy }{dt}(t))^2}dt$

この式の意味をおおまかに考える。
$x$ 方向の小さい変化 $\Delta x$ に対して，この曲線の $y$ 方向が $\Delta y$ と変化しているとする。
この分の曲線の長さはピタゴラスの定理で $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ で求められる。
あとはこれらの曲線を足し合わせて極限をとれば， $\int \sqrt{(d x)^2+(d y)^2}$ …(1)となる。
最後に $dx=\frac{dx}{dt}dt$ などとパラメータの微分と思えば上式が導ける。

ところで(1)の式を極座標でとりなおす。つまり $x=r \cos \theta , y=r \sin \theta$ とする。
このとき $d$ は微分と同じ法則で残すことにする。
例えば $d(fg)=d(f) \cdot g+f \cdot d(g)$ や $d(\sin \theta)=\cos \theta \cdot d\theta$ のように。

さて(1)のルートの中身を調べていこう。
$d(r \cos \theta)=dr \cdot ( \cos \theta)-r \sin \theta \cdot (d \theta)$
かつ $d(r \sin \theta)=dr \cdot ( \sin \theta)+r \cos \theta \cdot (d \theta)$ であるから２乗すると，
$(d(r \cos \theta))^2=(dr)^2 \cdot ( \cos^2 \theta) -2 \sin \theta \cos \theta dr d\theta+r^2 \sin^2 \theta \cdot (d \theta)^2$
かつ $(d(r \sin \theta))^2=(dr)^2 \cdot ( \sin^2 \theta) +2 \sin \theta \cos \theta dr d\theta+r^2 \cos^2 \theta \cdot (d \theta)^2$
つまり(1)は $\displaystyle \int \sqrt{(d x)^2+(d y)^2}=\int \sqrt{ (dr)^2 +r^2 (d \theta)^2 }=\int \sqrt{ r^2+ (\frac{dr}{d \theta})^2 }d \theta$

角度のパラメータの積分になっている。場合によってはこれの方が計算しやすいだろう。

2016-01-01

2次関数の最大値・最小値の問題

数学

2次関数の最大値・最小値の問題は，必ず関数のグラフで解決すべき問題だ。

例題．関数 $y=x^2-2x+3$ ， $-1 \leq x \leq 4$ の最大値と最小値を求めよ。

流れを確認する。
１．２次関数のグラフをかくために，関数を平方完成する。
２．頂点と端点に注目して関数のグラフをかく。
３．目で見て，高さが一番高いところと一番低いところを調べる。

解）与えられた関数を平方完成する。
$y=x^2-2x+3$
　 $=(x-1)^2+2$
つまり頂点の座標は $(1,2)$ で下に凸の２次関数である。
$x$ の定義域は $-1 \leq x \leq 4$ であるから，与えられた関数のグラフは次のとおりである。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%5E2-2x%2B3,+-1%3C%3Dx%3C%3D4
グラフから $x=4$ で最大値11， $x=1$ で最小値2をとる。（終）

2015-07-23

開集合の被覆

数学

$\mathbb{R}^{d}$ の開集合を可算個の開球体で被覆する話である．

2015-07-15

差集合について

数学

全体集合 $X$ の部分集合を $A,B$ とする．
このとき，差集合を次で定義する． $A \setminus B =\{ x \mid x \in A , x \notin B \}$ ．

差集合の集合算を考えたい．

まず大切なこととして， $x \notin A \Leftrightarrow x \in A^{c}$ であることは押えておく．

命題１．
$(A \setminus B ) \setminus C = A \setminus (B \cup C)$ ．

（証明）
$(A \setminus B ) \setminus C \subset A \setminus (B \cup C)$ を示す．
$x \in (A \setminus B ) \setminus C$ を言い換えると， $x \in A$ かつ $x \notin B$ かつ $x \notin C$ である．
とくに「 $x \notin B$ かつ $x \notin C$ 」は「 $x \in B^{c}$ かつ $x \in C^{c}$ 」である．
言い換えると $x \in B^{c} \cap C^{c}$ ということである．
ここでド・モルガンの法則により $x \in (B \cup C)^{c}$ となる．
ゆえに $x \notin B \cup C$ であるから， $x \in A \setminus (B \cup C)$ である．
逆の包含関係については下から上に辿っていけばよい．（証明終）

命題２．
$A \setminus (A \cap B) = A \cap B^c$ ．

（証明）
$x \in A \setminus (A \cap B)$ とする．
これは $x \in A$ かつ $x \notin A \cap B$ である．
後半について，言い換えると次の三通りのうちのどれかである．
１） $x \in A$ かつ $x \notin B$
２） $x \notin A$ かつ $x \in B$
３） $x \notin A$ かつ $x \notin B$
$x \in A$ より，１）の場合しかありえない．
よって， $x \in A$ かつ $x \in B^c$ であるから $x \in A \cap B^c$ である．
逆向きの包含関係は証明を下から上へ辿っていけばよい．（証明終）

2015-07-14

自然対数の積分表示

数学

高校数学３ではじめてこの積分を習う．

$\displaystyle \int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt = \log x$

つまり，右辺を左辺で定義することもできるわけだ．
有名な対数の性質も左辺も証明できよう．

例．
$\log x^{r} = r \log x$ ．

（解）
$\displaystyle \int_{1}^{x^{r}}\frac{1}{t}dt$ について， $t=s^{r}$ という置換をおこなう．
$dt = r s^{r-1}ds$ かつ $s : 1 \to x$ となる．
つまり $\displaystyle \int_{1}^{x^{r}}\frac{1}{t}dt = \int_{1}^{x} \frac{1}{s^{r}}r s^{r-1}ds = r \int_{1}^{x} \frac{1}{s}ds$ ．（終）

2015-07-13

任意のεについて

数学

高校ではまったく出てこないが重要な論法がある．

命題．
$a,b$ が定数で，任意の $\varepsilon > 0$ に対して，
　　 $a < b + \varepsilon$
が成り立つならば $a \leq b$ である．□

右辺にいくらでも小さくできる項が含まれていると，その項を取り除いても等号付きで不等号が成立する．
証明は背理法による．

（証明）
背理法を用いる． $a > b$ であると仮定する．
このとき $\varepsilon = a - b > 0$ ととると， $\displaystyle a < b + (a - b)$ より $a < a$ となる．
これは矛盾である．したがって， $a \leq b$ である．（証明終）